Teorema de bayes

Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes se apoya en el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la Probabilidad Total:

Aplicación Práctica del Teorema
Diagnóstico médico (en generalclasificaciones no biunívocas): El diagnóstico consiste en establecer la enfermedad de un paciente, a partir de una serie de síntomas. Pero los síntomas y las enfermedades no están ligados de un modobiunívoco (adj. mat. [Correspondencia] matemática que asocia cada uno de los elementos de un conjunto con uno, y solo uno, de los elementos de otro conjunto, y cada elemento de este último con uno, ysolo uno, de los elementos de aquel).

* Llamemos Ei al conjunto de enfermedades

* E1: tuberculosis pulmonar
* E2 : cáncer de pulmón
* E3: bronquitis obstructiva

* Si alos síntomas y síndromes asociados con las mismas.

* S1: tos
* S2: estado febril
* S3: hemoptisis

* Para E1: 20% presenta S1
* Para E2: hemoptisis y 80% presenta S1.

y lomismo para las demás enfermedades.
En términos de probabilidad condicionada, esta información es
P(S3|E1) = 0.2
P(S1|E1) = 0.8 etc.

Para diagnosticar la tuberculosis se ha de evaluar, paralos síntomas que presenta el paciente P(E1|Si) para lo que se puede usar el Teorema de Bayes si las enfermedades forman una partición (son mutuamente excluyentes y se consideran todas las enfermedadescompatibles con el síntoma) y se conocen sus prevalencias.

(Nótese que un mismo conjunto de síntomas podría dar lugar a un diagnóstico diferente en poblaciones en las que las prevalencias fuerandiferentes.)

Pruebas diagnósticas: Supóngase una prueba diagnóstica, por ejemplo nivel de glucosa en sangre, en ayunas, para diagnosticar la diabetes. Se considera que la prueba es positiva si seencuentra un nivel por encima de un cierto valor, digamos 120 mg/l.
Para evaluar la prueba, (habrá que hacerlo para distintos valores de corte) se somete a la misma a una serie de individuos...