Teorema De Bernouli

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA
NACIONAL BOLIVARIANA – UNEFA
NUCLEO CARACAS
SEDE - CHUAO
ING. CIVIL

Integrante:José M. Ríos B. C.I 20.304.244
Samuel A. Ballesteros M. C.I 18.995.950
Elio R. Suniaga C. C.I20.246.433
Angel Arias C.I 21.770.196

Caracas, 28/08/2012
Introducción
La motivación para la realización de este trabajo está centrada fundamentalmente en el hecho de que uno de los principales objetivos académicos que debe estar presente en la formación de un ingeniero, es conseguirque el alumno asimile, analice, discuta y relacione los conceptos matemáticos que se presentan como un lenguaje asociado a la Física, para describir el comportamiento de diferentes sistemas que se encuentran en la naturaleza.
Cuándo la velocidad de un fluido en cualquier punto dado permanece constante en el transcurso del tiempo, se dice que el movimiento del fluido es uniforme. Esto es, en unpunto dado cualquiera, en un flujo de régimen estable la velocidad de cada partícula de fluido que pasa es siempre la misma. En cualquier otro punto puede pasar una partícula con una velocidad diferente, pero toda partícula que pase por este segundo punto se comporta allí de la misma manera que se comportaba la primera partícula cuando pasó por este punto. Estas condiciones se pueden conseguircuando la velocidad del flujo es reducida. Por otro lado, en un flujo de régimen variable, las velocidades son función del tiempo. En el caso de un flujo turbulento, las velocidades varían desordenadamente tanto de un punto a otro como de un momento a otro.














Teorema de Bernoulli
Nuestro punto de partida para la deducción de este teorema, es laecuaciónV2ρ2+P+ρgz. Lo que deseamos obtener es una forma diferente para el primer término de esta ecuación, en que aparezca el término energía cinética por unidad de masa12v2. Mirando el primer término de la ecuación en la que aparece la velocidadv, nos damos cuenta enseguida que lo que buscamos no será difícil de obtener, ya que la energía cinética por unidad de masa depende solo de la velocidad.
V.∇V=12∇v2-Vx(∇xV)
La función vectorial ∆xV se llama vorticidad del fluido y se usa para definir una nueva función vectorialω=ω(x,y,z,y)por medio de la relación:
ω=12∇ x v
La razón para usar el término vorticidad es debido a que cuando tenemos una región de un fluido en donde∇xvno es nulo, entonces hay un remolino (una vorticidad) en esta región. Esto implica que si colocamos una esferita con laspaletas radiales es esa región, entonces la esferita adquiere un movimiento rotacional. Por eso, en una región donde∇xv≠0, puede definirse un vector velocidad angular que explique este movimiento rotacional. De la ecuación
ω=12∇ x vvemos que esta es la extensión natural del concepto velocidad angular de un sólido rígido.
En una forma análoga, a como se hizo con las líneas de corriente, se definenlas líneas de vorticidad como aquellas tales que el vector tangente en cada punto tenga la dirección de ω en dicho punto.
Introduciendo las dos relaciones
V.∇V=12∇v2- Vx(∇xV) y
ω=12∇ x ven la ecuación de conversión de la cantidad de movimientoV2ρ2+P+ρgz, obtenemos:
∂v∂t+∇ . vv= ∂v∂t+12∇v2- vx∇xv
= ∂v∂t+12∇v2-2vxω
=-∇ϕ+p

Por lo tanto:
∂v∂t-2ωxv=-∇(ϕ+p+12v2

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