Teorema de bernoulli

PRINCIPIO DE BERNOULLI

PRINCIPIO DE BERNOULLI
Daniel Bernoulli presento en 1738 la ecuación usada con más frecuencia en ingeniería hidráulica.
Esta ecuación relaciona la presión, la velocidad y la altura de un líquido incomprensible en régimen estacionario (movimiento constante)
La ecuación más usual es:
V²/2+p/d+gz=constante

Donde V es la velocidad en un punto, la p, presión, d, ladensidad, g, la aceleración de la gravedad y z, la altura sobre un nivel de referencia arbitrario.
Aplicando el principio de la conservación de la energía y a la ecuación de continuidad para un líquido incomprensible que demuestra que el mismo volumen del líquido Q que desaparece en un punto, reaparece en otro, la ecuación se establece como sumatoria de términos de presión:
1/2dv²+dgz+P=constante1/2dv² representa al energía cinética por unidad de volumen, dgz es la energía potencial por unidad de volumen y P la presión. Aplicaciones.
Tubo de Venturi
Cuando un fluido para a través un tubo de diferentes secciones (áreas), el aumento de velocidad causa una disminución de presión en ese punto y viceversa. Si suponemos que el cociente de secciones es r= A1/A2 entonces la relación entre lasvelocidades será:
A1v1=a2v2
V2=v1A1/A2
P1-P2=dg∆h
1/2dV1 (^2)+P1=1/2dV2 (^2)+P2 sustituyendo, haciendo r=A1/A2 y operando
V1= [2g∆h/ (r2-1)]1/2, es la velocidad en el tramo ancho y
V2=A1/A2 ([2g∆h/ (r2-1)]1/2), la velocidad en el tramo estrecho.

2: considere la situación descrita en el problema anterior, si los centros de ambos tubos están sobre la misma recta horizontal, ¿cuál es ladiferencia de presión entre los dos tubos conectados?

La ecuación de Bernoulli es:

P1 + ρ g h1 + ½ ρ v1² = P2 + ρ g h2 + ½ ρ v2²

donde:

ρ = densidad del líquido
P1 = Presión en el segmento #1
h1 = altura del segmento #1
v1 = velocidad del líquido en el segmento #1
P2 = Presión en el segmento #2
h2 = altura del segmento #2
v2 = velocidad del líquido en el segmento #2

P1 – P2 = ρg (h2 – h1) + ½ ρ (v2² – v1²)

∆P = ρ g ∆H + ½ ρ (v2² – v1²)

Como los dos tubos están a la misma altura significa que ∆H = 0 y la densidad del agua es ρ = 1000 kg/m³

∆P = ½ ρ (v2² – v1²)

∆P = ½ 1000 kg/m³ [(24 m/s)² – (6 m/s)²]

► ∆P = 270000 Pa = 270 kPa

3: En el costado de un depósito de agua hay un orificio de 2 cm de diámetro, localizado 5 m por debajo del nivel del agua quecontiene el depósito, ¿cuál es la velocidad de salida del agua por el orificio? ¿Qué volumen de agua escapara por ese orificio en 1 min?

Nuevamente, como el orificio de salida del líquido es muy pequeño se puede aplicar la ecuación de Torricelli, en lugar de la más general de Bernoulli.

v = √(2 g h)

donde:

v = velocidad de salida del líquido
g = aceleración de la gravedad (9,8 m/s²)
h= altura de la superficie del líquido sobre el orificio de salida (5 m)

Remplazando valores:

► v = √(2 . 9,8 m/s² 5 m) = 9,9 m/s

Teorema de Bernoulli
Basicamente Bernoulli dividió este estudio en dos partes, la primera en la cual considero los efectos de la conpresibilidad del aire como despreciable, es decir flujo incompresible que es lo que ocurre en vuelo a bajas velocidades o vuelosubsónico, y en la segunda etapa realizo el análisis considerando apreciables los efectos de compresión del aire o flujo compresible que es lo que ocurre en vuelos a altas velocidades generalmente vuelos transónicos o supersónicos.
Entrando al análisis en sí, consideremos un fluido, compresible o no, en movimiento; cada partícula tendrá una trayectoria determinada; si consideramos un tubo formadopor esas trayectorias o líneas de corriente, y nos fijamos en lo que ocurre dentro del tubo podremos deducir el teorema de Bernoulli

Aislemos una longitud, que puede ser tan pequeña como queramos del tubo; sea esta longitud Dl (o dl), y sean S y S' las superficies del tubo en los extremos, V y V + DV (o V + dV), las velocidades correspondientes en esas secciones. Sobre la cara S, el resto...