Teorema de bernoulli

INTRODUCCIÓN.
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de variasvariables.
Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones de primer orden, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.
Entre los tipos de EDOs de primer orden seencuentran:[

Ecuación de Bernoulli.

Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación diferencial lineal, fue formulada por Jakob Bernoulli y resuelta por su hermano, Johann Bernoulli y presenta la forma:
[pic]
En la cual, si se hace la sustitución z = y1 − n, la ecuación se transforma en una ecuación lineal con z como variable dependiente,resolviéndose de manera análoga.

Ecuación de Riccati.

Una ecuación diferencial tiene la forma de la introducida por Jacobo Francesco Riccati cuando presenta la estructura:
[pic]
Para resolverla, se debe hacer la sustitución[pic], donde yp es una solución particular cualquiera de la ecuación.

Ecuación de Clairaut.

Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada así en honor aAlexis-Claude Clairaut, tiene la forma:
[pic].

[pic]

Teorema de Bernoulli.
El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimende circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

1. Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.
2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.
3. Energía de flujo: es la energía queun fluido contiene debido a la presión que posee.
La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

[pic]
Donde:

▪ V = velocidad del fluido en la sección considerada.
▪ g = aceleración gravitatoria
▪ z = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.
▪ P = presión a lolargo de la línea de corriente.
▪ ρ = densidad del fluido.
Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:

▪ Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.
▪ Caudal constante
▪ Flujo incompresible, donde ρ es constante.
▪ Laecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo irrotacional
Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler.

Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubería.

Aplicabilidad.

El principio de Bernoulli tiene una aplicación muy útil: medir la rapidezcon la que se mueve un avión en relación al viento. Esto se hace con un tubo de Prandtl que mide la presión estática (la presión del aire sin frenar) y la presión de remanso (es decir, la presión del aire tras frenarlo suavemente hasta que acompaña al avión). La variación de la energía potencial es despreciable. Conocidas las presiones y la celeridad de remanso (que es nula), descubrir la...