Teorema De Bernoulli

PROBABILIDAD I Teorema de Bernuolli

Introducci´n o En este escrito expondremos de forma detallada el Teorema de Bernoulli. Inroducimos primero el modelo de distribuci´n Bernoulli par´metro p, ofreciendo una discusi´n o a o sobre el sentido del teorema que nos ocupa. En la secci´n inmediata, formalizamos el o concepto de independencia para variables aleatorias (y ensayos) Bernoulli eintroducimos el modelo de distribuci´n binomial como una suma finita de variables aleatorias o Bernoulli independientes y con mismo par´metro p. Complementariamente se proa bar´n algunos propiedades utiles para la prueba del Teorema de Bernoulli, el cual se a ´ enuncia y se demuestra en la ultima parte de este texto. ´ Lo aqu´ expuesto est´ basado enteramente en las referecias bibliog´ficas que apareı a a cenal final. Estas p´ginas est´n dedicadas a los autores. a a

Ensayos y distribuci´n Bernoulli o
Definici´n (Ensayo Bernoulli). Un ensayo Bernoulli es un fen´meno aleatorio que solo o o admite dos posibles resultados, uno denominado ´xito y otro denominado fracaso. e Los ejemplos cl´sicos de ensayos Bernoulli son los juegos de azar que consisten en ”ganar” a o ”perder”, como los volados, la loter´y ciertos juegos de apuesta con cartas. ıa Probabilidad de ´xito en un ensayo Bernoulli. Un ensayo Bernoulli est´ asociado a e a un par´metro determinado por la probabilidad de obtener ´xito en la realizaci´n del ensayo. a e o Esto es, si E y F representan los eventos ´xito y fracaso, respectivamente, entonces definimos e p := P(E) y q := P(F ) = 1 − p.

La forma en que se determina estepar´metro es a veces una cuesti´n pol´mica. Por a o e ejemplo, decimos que una moneda es honesta si observamos, tras varios lanzamientos, que la regularidad con la que resulta aguila es cercana al 50% de las veces, y en este caso, ´ ateniendonos a un esquema de razonamiento frecuentista, aceptamos que p = 1/2. En otros casos, sin embargo, la moneda podr´ estar cargada hacia un resultado, ya sea aguila osol, y ıa ´ podr´ ıamos cuestionar si es v´lido ”aproximar” el valor del par´metro p mediante repeticiones a a sucesivas e independientes1 del volado, en cuanto que en apariencia no hay manera de saber
Es f´cil comprender el sentido de esta palabra para este contexto. Nos referimos obviamente a que cada a volado se lleva a cabo en las mismas condiciones, sin considerar los resultados previos en ellanzamiento actual de un volado, y para los volados futuros sin importar el lanzamiento actual.
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qu´ n´mero de volados hay que realizar para aproximar, dentro de un margen de error e u establecido a priori, el valor de p. Y por otro lado, aunque en la pr´ctica, desde siempre, se a ha aceptado que el valor de p, sea cual fuere, puede aproximarse por este razonamiento de regularidadfrecuentista, hasta Bernoulli no hab´ manera de justificar de alg´n modo esta ıa u v´ en la determinaci´n de p. ıa o El Teorema de Bernoulli. Bernoulli trabaj´, seg´n sus propias palabras, cerca de 20 o u a˜os en este problema. Demostr´ finalmente que en t´rminos estoc´sticos (lo cual es de n o e a bastante relevancia se˜alar), el esquema frecuentista de razonamiento en la aproximaci´n n o del par´metrop, es efectivo. Heur´ a ısticamente, el Teorema de Bernuolli afirma que en un n´mero grande de repeticiones de un mismo ensayo Bernoulli, es ”muy probable” que la u frecuencia relativa con que ocurre ´xito est´ cercana al valor te´rico del par´metro p. e e o a Actualmente, este resultado se conoce como Ley d´bil de los grandes n´meros. Con las e u herramientas matem´ticas actuales, se puede probarde hecho que, con probabilidad 1, el a par´metro p es el l´ a ımite, cuando n → ∞, de la frecuencia relativa de ´xito en n repeticiones e del mismo ensayo Bernoulli, lo que se conoce como Ley fuerte de los grandes n´meros. u Aunque la afirmaci´n de Bernoulli y la Ley fuerte de los grandes n´meros se˜alan que o u n es pausible determinar, aproximadamente, por regularidad frecuentista el valor de...