Teorema de bool

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y Si (AND,OR,NOT,IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirlacomo parte de un sistema lógico en el año 1854, en su tratado An investigation of the laws of thought on which to found the mathematical theories of logic and probabilities. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseñoelectrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta logica se puede aplicar a dos campos:
Al análisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.
Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.
Una álgebra de Boole es unatripleta . Donde , y son operaciones binarias y también operaciones internas en y además para cualquier se cumplen los siguientes axiomas:
1. Propiedad conmutativa:

2. Propiedad asociativa:

3. Propiedad distributiva:

4. Propiedad de los neutros. Existen tales que:

5. Propiedad de los opuestos. Existe tal que:
Como retículo
Como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyesprincipales son estas:
1. Ley de Idempotencia:

2. Ley de Asociatividad:

3. Ley de Conmutatividad:

4. Ley de Cancelativo

5. Ley de Absorción

*
Operación suma
a | b | a + b |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dosinterruptores en paralelo.
* Operación producto
a | b | a b |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
La operación producto () asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores
* Operación negación
a | |
0 | 1 |
1 | 0 |
La operación negación presenta el opuesto del valorde a:

Un interruptor inverso equivale a esta operación:
Operaciones combinadas
a | b | | |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 |
Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:

Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dosinterruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.
Leyes fundamentales
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
1. Ley de idempotencia:

2. Ley de complemento:

3. Ley conmutativa:

4. Ley asociativa:

5. Ley distributiva:
Distributiva por la izquierda:Distributiva por la derecha:

6. Ley de cancelación:

7. Ley de identidad:

8 Ley de dominación:

9. Leyes de De Morgan:

George Boole
(Lincoln, Reino Unido, 1815 - Ballintemple, actual Irlanda, 1864) Matemático británico. Procedía de una familia venida a menos y tuvo que desestimar la idea de convertirse en monje al verse obligado a mantener a sus padres.

George Boole
A losdieciséis años enseñaba matemáticas en un colegio privado y más tarde fundó uno propio. A los veintecuatro años, tras la publicación de su primer escrito, pudo ingresar en Cambridge, pero desestimó la oferta, de nuevo a causa de sus deberes respecto a su familia. En 1849 fue nombrado profesor de matemáticas del Queen’s College, en Cork, donde permaneció el resto de su vida.
El gran descubrimiento...