Teorema De Castigliano

CALCULO DE DEFORMACIONES EN ESTRUCTURAS

Teorema de Castigliano:
Consideremos una estructura, que la esquematizamos con una línea cerrada. Es decir,
que el área encerrada por la misma se desarrolla una estructura resistente, isostática o
hiperestática, o sea que no puede ser hipostática (mecanismo con movimientos).
Consideremos ahora un sistema de
cargas actuando sobre la misma, con
Pjvalores tales que todos los elementos
estructurales estén sometidos a esfuerP2
zos, para los cuales, las tensiones y
j
2
deformaciones
estén
dentro
del
δ2
régimen elástico. Dichas fuerzas las
Pn-1
Δ2
n-1
indicamos con P1 ..... Pj ..... Pn,
2'
sistema que está en equilibrio, es decir
1
que, o bien son sistema de fuerzas
n
externas, o alguna de ellas son fuerzas
P1
externas yotras son reacciones de
Pn
vínculo.
Al actuar las fuerzas creciendo desde
cero a su valor final, el cuerpo de deforma y los puntos de aplicación de las mismas se
desplazan. Por ejemplo el punto, 2 pasa a ocupar la posición 2'.
Cada fuerza realiza un trabajo elástico de valor:

½.P.δ
Siendo δ la proyección del despalzamiento Δ sobre la recta de acción de la fuerza.
El trabajo total, debidoa todas las fuerzas vale:
n1
Ae = ∑ j =1 Pj δ j
2

lo cual expresa la energía total elástica acumulada por el sistema.
Si la fuerza Pj, varía en dPj, el trabajo valdría:

Ae +

∂Ae
dPj
∂Pj

∂Ae
es la variación del trabajo total cuando Pj varía en la unidad.
∂Pj
Consideramos ahora que primero se aplique dPj y luego el sistema P1 a Pn. El trabajo
total, en este caso resulta:
dondePágina 1 de 16

1
dPj .dδ j + dPj .δ j + Ae
2
Donde:
• El 1° sumando, expresa el trabajo elástico de dPj, al aplicar dicha fuerza creciendo
desde cero a su valor final.
• El 2° sumando, representa el trabajo físico de dPj debido al desplazamiento que
provoca el sistema P1 a Pn, al crecer desde cero a sus valores finales.
• El 3° sumando, el trabajo elástico del sistema P1 a Pn.Como los estados finales, del 1° y 2° caso son iguales, debe cumplirse:

Ae +

∂Ae
1
dPj = dPj .dδ j + dPj .δ j + Ae
∂Pj
2

Simplificando los valores Ae de las dos ecuaciones y despreciando el primer sumando
del segundo miembro por ser un diferencial de orden superior, se obtiene:

∂Ae
dPj = dPj .δ j
∂Pj
o lo que es equivalente :

δj =

∂Ae
∂Pj

que es la expresión del Teoremade Castigliano
Como el trabajo externo que realiza el sistema de fuerzas P1 a Pn, se acumula como
energía interna elástica, podemos escribir:

Ae = Ai
Y por lo tanto:

δj =

∂Ai
∂Pj

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Ello implica poder enunciar:

"En todo sistema elástico, sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio,
la variación del trabajo interno para un incremento unitario de la fuerzaaplicada en un punto cualquiera del mismo, representa el desplazamiento
del punto proyectado en la dirección de la fuerza, siempre que el sistema
se encuentre en el régimen elástico."
Debido que para obtener las deformaciones con el trabajo externo Ae, necesitamos las
deformaciones, debemos desarrollar la expresión del trabajo interno Ai.
Dado que los esfuerzos internos están representados portensiones y las deformaciones por deformaciones específicas, el trabajo interno estará dado por unidad de
volumen:
Ai* = "trabajo interno de deformación por unidad de volumen", el cual estará expresado
de la siguiente manera:

Ai* =
Por la ley de Hooke ε =

1
1
σε + τγ
2
2

τ
σ
, γ = , reemplazando en la expresión anterior:
E
G

1 σ2 1 τ2
Ai* =
+
2 E 2G
Para obtener eltrabajo interno de deformación debemos integrar la expresión en el
volumen:

1 σ2
1 τ2
Ai = ∫ Ai * dV = ∫ ∫
dAdx + ∫ ∫
dAdx
2E
2G
xA
xA
Las tensiones normales son producidas por momentos y esfuerzos axiles (M y N), y las
tensiones tangenciales por los esfuerzos de corte (Q):

σ=

NM
+
y,
AJ

τ=α

Q
A

donde α =

SA
Jb

Reemplazando:

Ai =

N2
NM
M2 2
Q2
1
1
1...