Teorema de Cauchy

Teorema de Cauchy

Teorema de Cauchy
Los ceros de la ecuación característica (Ec-1) son los polos de la
transferencia total. Son entonces los ceros de la ecuación característica los
que nodeben estar del lado derecho del plano S para que la transferencia
corresponda a la de un sistema estable.
F(s) = [1+G H]=0 (Ec-1)
Para determinar la existencia de dichos ceros de F(s) en el ladoderecho Nyquist aprovechó el teorema de la Representación Conforme (o
del Mapeo) de Funciones de variable compleja que dice:
Dada una F(s), si un determinado contorno cerrado del plano S de la
variablecompleja encierra un cierto número Z de ceros de F(s) y un
número P de polos de F(s), cuando la variable S lo recorre en sentido
horario, el valor representativo de F(s) recorre a su vez un númeroN=Z-P
de rodeos, encierros, circulaciones completas alrededor del origen del
plano F(s) (en el sentido horario).
Dado que F(s) = [1+G H] se puede escribir (F(s)-1)=G H. Entonces
por simplicidad serepresenta G H (Transferencia de lazo abierto) y se
analizan los rodeos, encierros completos alrededor del punto (-1+0j) en
lugar de hacerlo alrededor de cero.
Como lo que interesa es el número deCeros de F(s) dentro del
semiplano derecho del plano S lo que hace Nyquist es definir un camino
que encierre este semiplano mediante un lado formado por el eje complejo
jω y un semicírculo deradio infinito desde +jω ( con w tendiendo a infinito)
hasta –jω (con la misma condición). A este camino se lo denomina:
“trayectoria o recorrido de Nyquist”. Y despeja el número de ceros de laexpresión del teorema de la representación conforme.
Z=N+P (Ec-2)
Dónde:
Z es el número de ceros de la ecuación característica del lado derecho del
plano S
P es el número de Polos de la ecuacióncaracterística del lado derecho del
plano S
Instituto Tecnológico de Morelia
“José María Morelos y Pavón”

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Teorema de Cauchy

N es el número de rodeos que efectúa la representación de G...