Teorema de cayley - hamilton

TEOREMA DE CAYLEY - HAMILTON

Teorema. Teorema de cayley-hamilton. Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si p(() = 0 es la ecuacióncaracterística de A, entonces p(A) = 0.

Demostración. Se tiene
P (() = det (A - ( I) = [pic]
Es claro que cualquier cofactor de (A - ( I) en un polinomio en (. Así,la adjunta de A - ( I es una matriz de n * n en la que cada componente es un polinomio en (. Es decir,

Adj (A - ( I) = [pic]

Esto significa que se puede pensar en adj (A - ( I)como en un polinomio, Q((), en ( cuyos coeficientes son matrices de n * n. Para entender esto, se ve lo siguiente:

[pic]

En algunas situaciones el teorema de Cayley-Hamiltones útil para calcular la inversa de una matriz. Si existe A-1 y p(A) = 0, entonces A-1 p(A) = 0. Para ilustrar esto, si p(() = (n + an-1(n-1 + ... + a1( + a0, entonces

P (A) = An +an-1An-1 + ... + a1A + a0I = 0
Y
A-1p(A) = An-1 + an-1An-2 + ... + a2A + a1I + a0A-1 = 0

Así

Observe que a0 ( 0 porque a0 = det A y se supuso que A era invertible.

Ejemplo.Aplicación del teorema de Cayley-Hamilton para calcular A-1. Sea

A= [pic] Entonces p (() = (3 –2(2 – 5( + 6.

Aquí n = 3, a2 = -2, a1 = -5, a0 = 6 y

A-1 = ( (-A2 +2A + 5I)

= ( [pic]

= ( [pic]

Observe que se calculó A-1 haciendo sólo una división y calculando sólo un determinante (al encontrar p(() = det (A - ( I)). Este método enocasiones es muy eficiente en una computadora.

Recibe el nombre en honor de Sir William Rowan Hamilton y Arthur Cayley (1821-1895). Cayley publicó el primer análisis de este famosoteorema en 1858. Por su parte, Hamilton descubrió (pero no demostró) el resultado de su trabajo sobre cuaterniones.

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A-1 = 1/a0(-An-1 –an-1An-2 - ... – a2A – a1I)