Teorema De Ceva Y Menelao

Teorema de Ceva

Sean X, Y, Z tres puntos cualesquiera de los lados BC, CA y AB respectivamente de un triángulo ABC. Los segmentos AX, BY y CZ se denominan cevianas, término que procede delmatemático italiano Giovanni Ceva (1647-1734).

Aquí podemos ver tres cevianas de un triángulo cumpliendo el teorema de Ceva.

El teorema de Ceva afirma:
Si las tres cevianas AX, BY y CZ sonconcurrentes, entonces

Demostración del teorema

La siguiente demostración se basa en que las áreas de los triángulos con alturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Supongamos quelas tres cevianas AX, BY y CZ se cortan en un punto P. Denotamos por (ABX) el área del triángulo determinado por esos tres puntos.

Entonces


De la misma forma, se obtiene queMultiplicando,


El recíproco del teorema de Ceva es cierto también. Es decir, se cumple que si

entonces las tres cevianas son concurrentes.


El teorema Ceva, un teorema de concurrencia, tiene uncorrespondiente teorema de alineación: el teorema de Menelao. Este teorema dice lo siguiente,
Sean X, Y y Z puntos respectivamente sobre los lados BC, AC y AB (o sus prolongaciones). Entonces,una condición necesaria y suficiente para que los puntos X, Y, Z estén alineados es que




Teorema de Menelao
Enviado por jmd el 18 de Febrero de 2009 - 21:24.

Sea ABC un triángulo yX,Y,Z tres puntos sobre los lados BC,CA,AB, respectivamente. La condición necesaria y suficiente para que los puntos X,Y,Z sean colineales es que el producto de las razones AZ/ZB,BX/XC,CY/YA sea launidad.
Demostración(es)
Demostración:

En la figura se muestran los puntos X,Y,Z en las prolongaciones de BC,CA,AB, respectivamente, para enfatizar el hecho de que --lo mismo que en el teorema deCeva-- "lado" debe entenderse como la recta definida por el lado. La construcción auxiliar es una paralela BW al lado AC. El trazo de esta paralela es sugerido por la configuración y el objetivo de...