Teorema De Clairaut Y Diferenciabilidad

Teorema de Clairaut
En matemáticas y más concretamente en cálculo diferencial el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwartz o teorema de la igualdad de las derivadascruzadas es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de varias variables. El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuasentonces son iguales.
Caso general
Sea :, A un abierto, tal que existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en A.Entonces para cualquier punto  se cumple que: |
Enunciado del teoremaen dos variables
Seauna función de dos variables, definida en un abierto Ω del plano . si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en Ω () estas son iguales, es decir:. |Demostración
Sea
.
Y sean  ,  reales tales que . Lo cual es posible, ya que  es un abierto de .
Se definen dos funciones  y 
,
,
de modo que:
,
.

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Aplicando dos veces el teorema deLagrange:

,
y análogamente:
,
con  , , por comodidad de escritura pero sin perder generalidad, se suponen .
Luego haciendo tender  y  a  se logra la tesis.

Diferenciabilidad
Una función condominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos delintervalo.
Si una función es diferenciable en un punto x, la función es continua en ese punto. Sin embargo, una función continua en x, puede no ser diferenciable en dicho punto. En otras palabras,diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.
La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda.De un modo parecido. La derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.

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