Teorema De Conjuntos
Páginas: 5 (1156 palabras)
Publicado: 29 de marzo de 2015
CONJUNTOS
Es una colección de objetos, bien determinados, es decir que, dado un objeto y un conjunto, se puede establecer si el objeto pertenece o no al conjunto.
Observaciones:
Cada objeto del conjunto se llama elemento.
Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas.
Se representan en diagramas de Venn.
Los elementos se encierran entre llaves.
A = {a, e , i , o , u}
Los conjuntos sepueden determinar por extensión y por comprensión.
Extensión: Cuando se nombra cada elemento que lo integra. Ejemplo: El conjunto de los números naturales impares mayores que 5. M={7, 9, 11, 13, 15, . . . }
Comprensión: Cuando se recurre a la propiedad que lo caracteriza y que sólo cumplen sus elementos; Ejemplo: El conjunto de los números naturales impares mayores que 5. M={ x ϵ N / x= 2n + 5}
En unconjunto no se repiten elementos.
En un conjunto no importa el orden en que se coloquen los elementos. B = {a,b} = {b,a}.
Para el desarrollo de la teoría de conjunto deben darse las siguientes condiciones:
Un conjunto universal.
Determinar el conjunto por comprensión.
Determinar el conjunto por extensión.
RELACIÓN DE IGUALDAD
Dos conjuntos A y B son iguales si tienen exactamente los mismoselementos.
En símbolos A = B <=> (x ϵ A => x ϵ B) ^ (x ϵ B => x ϵ A)
Es decir: Todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A.
Ejemplo:Sean A y B dos subconjuntos. Decimos que A es subconjunto de B, A C B, si y sólo si todo elemento de A es también elemento de B, simbólicamente A C B <=> Para todo x (x ϵ A=> x ϵ B).
PROPIEDADES
El conjunto vacío es subconjunto de todoconjunto. Si A es un conjunto cualquiera, entonces φ C A.
Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, es decir, si A es cualquier conjunto entonces A C A.
Si A es subconjunto de B, no necesariamente B es subconjunto de A.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
La unión entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. Se representa A U B.
Simbólicamente A U B = {x/x ϵ Av x ϵ B}
Ejemplo: A = {1,2,3,4} y B = {3,4,5,6,7,}
{1,2} son exclusivos de A
{5,6,7} son exclusivos de B
{3,4} pertenecen a los dos conjuntos
A U B = {1,2,3,4,5,6,7}
DIAGRAMAS DE VENN DE LA UNION
DISYUNTOS: A y B son conjuntos disyuntos, cuando no tienen elementos en común.
INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos quepertenecen simultáneamente a A y B.
Se representa A ∩ B.
Simbólicamente A ∩ B = {x/x ϵ A ^ x ϵ B}
Si A ∩ B es vacío se dice que A y B son conjuntos disyuntos. A ∩ B = φ
LA DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS
La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se representan A – B.
Simbólicamente: A – B = {x/x ϵ A ^x Ɇ B }
CONJUNTOUNIVERSAL
Es el conjunto formado por todos los elementos de tema en referencia. Se representa con U.
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto formado por los elementos de U que no pertenecen a A.
El complemento de A se simboliza A’ y se lee: A complemento.
Simbólicamente A’ = U – A = {x/x ϵ U ^x Ɇ A}
DIFERENCIA SIMÉTRICALa diferncia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a: A u B u no pertenecen a A ∩ B. Se representa por A Δ B.
Simbólicamente : A Δ B = (A u B) – (A ∩ B)
X ϵ (A Δ B) <=> x ϵ (A u B) ^x Ɇ (A ∩ B)
A Δ B = {x/x ϵ (A u B) ^x Ɇ (A ∩ B)}
CARDINAL DE UN CONJUNTO
El cardinal de un conjunto es el número de elementos que posee. El cardinal delconjunto A se simboliza n(A): Se lee: número de elementos de A
A = {1,2,3,4} y B = {3,4,5,6,7} ; n(A) = 4 y n(B) = 5
n(A u B) = 7
n (A ∩ B) = 2
Luego n(A u B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B)
En general: n(A u B) = (4 + 5 ) – 2 = 9 – 2 = 7
APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
CARDINAL O NÚMERO DE ELEMENTOS PARA LA UNIÓN DE DOS CONJUNTOS.
Si A y B son conjuntos diferentes de vacío, entonces:
n(A...
Es una colección de objetos, bien determinados, es decir que, dado un objeto y un conjunto, se puede establecer si el objeto pertenece o no al conjunto.
Observaciones:
Cada objeto del conjunto se llama elemento.
Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas.
Se representan en diagramas de Venn.
Los elementos se encierran entre llaves.
A = {a, e , i , o , u}
Los conjuntos sepueden determinar por extensión y por comprensión.
Extensión: Cuando se nombra cada elemento que lo integra. Ejemplo: El conjunto de los números naturales impares mayores que 5. M={7, 9, 11, 13, 15, . . . }
Comprensión: Cuando se recurre a la propiedad que lo caracteriza y que sólo cumplen sus elementos; Ejemplo: El conjunto de los números naturales impares mayores que 5. M={ x ϵ N / x= 2n + 5}
En unconjunto no se repiten elementos.
En un conjunto no importa el orden en que se coloquen los elementos. B = {a,b} = {b,a}.
Para el desarrollo de la teoría de conjunto deben darse las siguientes condiciones:
Un conjunto universal.
Determinar el conjunto por comprensión.
Determinar el conjunto por extensión.
RELACIÓN DE IGUALDAD
Dos conjuntos A y B son iguales si tienen exactamente los mismoselementos.
En símbolos A = B <=> (x ϵ A => x ϵ B) ^ (x ϵ B => x ϵ A)
Es decir: Todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A.
Ejemplo:Sean A y B dos subconjuntos. Decimos que A es subconjunto de B, A C B, si y sólo si todo elemento de A es también elemento de B, simbólicamente A C B <=> Para todo x (x ϵ A=> x ϵ B).
PROPIEDADES
El conjunto vacío es subconjunto de todoconjunto. Si A es un conjunto cualquiera, entonces φ C A.
Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, es decir, si A es cualquier conjunto entonces A C A.
Si A es subconjunto de B, no necesariamente B es subconjunto de A.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
La unión entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. Se representa A U B.
Simbólicamente A U B = {x/x ϵ Av x ϵ B}
Ejemplo: A = {1,2,3,4} y B = {3,4,5,6,7,}
{1,2} son exclusivos de A
{5,6,7} son exclusivos de B
{3,4} pertenecen a los dos conjuntos
A U B = {1,2,3,4,5,6,7}
DIAGRAMAS DE VENN DE LA UNION
DISYUNTOS: A y B son conjuntos disyuntos, cuando no tienen elementos en común.
INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos quepertenecen simultáneamente a A y B.
Se representa A ∩ B.
Simbólicamente A ∩ B = {x/x ϵ A ^ x ϵ B}
Si A ∩ B es vacío se dice que A y B son conjuntos disyuntos. A ∩ B = φ
LA DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS
La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se representan A – B.
Simbólicamente: A – B = {x/x ϵ A ^x Ɇ B }
CONJUNTOUNIVERSAL
Es el conjunto formado por todos los elementos de tema en referencia. Se representa con U.
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto formado por los elementos de U que no pertenecen a A.
El complemento de A se simboliza A’ y se lee: A complemento.
Simbólicamente A’ = U – A = {x/x ϵ U ^x Ɇ A}
DIFERENCIA SIMÉTRICALa diferncia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a: A u B u no pertenecen a A ∩ B. Se representa por A Δ B.
Simbólicamente : A Δ B = (A u B) – (A ∩ B)
X ϵ (A Δ B) <=> x ϵ (A u B) ^x Ɇ (A ∩ B)
A Δ B = {x/x ϵ (A u B) ^x Ɇ (A ∩ B)}
CARDINAL DE UN CONJUNTO
El cardinal de un conjunto es el número de elementos que posee. El cardinal delconjunto A se simboliza n(A): Se lee: número de elementos de A
A = {1,2,3,4} y B = {3,4,5,6,7} ; n(A) = 4 y n(B) = 5
n(A u B) = 7
n (A ∩ B) = 2
Luego n(A u B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B)
En general: n(A u B) = (4 + 5 ) – 2 = 9 – 2 = 7
APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
CARDINAL O NÚMERO DE ELEMENTOS PARA LA UNIÓN DE DOS CONJUNTOS.
Si A y B son conjuntos diferentes de vacío, entonces:
n(A...
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