TEOREMA DE COSENO

TEOREMA DE COSENO
Teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de untriángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los ladosrespectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sinembargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.









El teorema y sus aplicaciones

El teorema del coseno es también conocido por el nombrede teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo  es recto o, dicho de otro modo, cuando, el teorema del coseno se reduce a:


Que esprecisamente la formulación del teorema de Pitágoras.
El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar.
el tercer lado de un triángulo cuando conocemos unángulo y los lados adyacentes:



los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:

Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizandométodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.
Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dostriángulos semejantes ABC y A'B'C'
.

DEMOSTRACIONES
Por desglose de áreas

Un cierto número de las demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que
a², b²,c² son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
ab cos (γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).
Dado...