Teorema de diverjencia ejercicio

~ Veri…car el teorema de la divergencia para el campo vectorial A (x; y; z) = 2xy + z; y 2 ; x 2x + 2y + z = 6; x = 0; y = 0; z = 0

3y en la región limitada por

Hay que hacer la integral devolumen del lado izquierdo, luego la integral de super…cie del lado derecho y ver que dan lo mismo.

Solución: ElRteorema de la divergencia establece que para cualquier volumen V tenemos R R RR ~ ~ b rA dV = A ndS
V S(V )

Integral de volumen
Divergencia
~ r A=r 2xy + z; y 2 ; x

3y =

@ @ @ (2xy + z) + y2 + ( x @x @y @z

3y) = 2y + 2y + 0 = 4y

Integral multiple
Para determinar loslimites de la integral iterada lo que hacemos es adoptar a x como primer variable, despues ver en que rango varia y cuando tenemos una x …ja. De las ecuaciones de las fronteras del volumen es claroque x varia de 0 a 3. Fijo x; lo que hacemos es tomar z = 0, lo cual nos dice que y varia de 0 a 3 x. Finalmente es claro que …jas x; y, z variara desde 0 hasta 6 2x 2y que es el plano que "cierra" elvolumen. Tenemos entonces RRR R 3 R 3 x R 6 2x 2y ~ r A dV = 0 dx 0 dy 0 dz 4y
V

Ahora es sólo hacer las integrales R RRR R3 R3 x 6 ~ r A dV = 4 0 dx 0 ydy 0 dz = 6 2y 2x tenemos RRR R3 R3 ~ r A dV= 4 0 dx 0
0 V

2x 2y

dz

como R 6 2x

V

2y

x

y (6

2x

2y) dy

Integral de super…cie

que a su vez es R3 x 1 3 y (6 2x 2y) dy = (x 3) 0 3 y …nalmente RRR 4 R3 3 ~ r A dV =(x 3) dx = 27 3 0 V RRR ~ r A dV = 27
V

1

El volumen está rodeado por cuatro super…cies: Plano z = 0 : 1 (u; v; 0) 0 < u < 3; 0 < v < 3 u Normal (1; 0; 0) (0; 1; 0) : 0 0 Plano y = 0 : 1 0(u; 0; v) 0 < u < 3; 0 < v < 6 2u Normal (1; 0; 0) (0; 0; 1) : 0 Plano x = 0 : 1 0 0 (0; u; v) 0 < u < 3; 0 < v < 6 2u Normal (0; 1; 0) (0; 0; 1) : Plano 2x + 2y + z = 6 : (u; v; 6 2u 2v) 0 < u < 3; 0