Teorema de estokes

TEOREMA DE STOKES.
Sea S una superficie orientada y suave a segmentos, está acotada por una curva frontera C suave a segmentos cerrada y simple cuya orientación es positiva.
El Teorema de Stokesestablece que el cálculo de la integral de línea del campo vectorial F en la dirección tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la superficie S de la circulación del campo F alrededor dela frontera, en la dirección de la componente normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una curva orientada positivamente, de tal manera que es la frontera de la superficie orientadapositivamente S.
En pocas palabras el teorema de Stokes en una definición física se utiliza para convertir una integral de curva a una integral de superficie.
Este teorema nos permite resolver problemasde integración cuando la curva en la que tenemos que integrar es complicada.
También nos dice que si F tiene rotacional 0 en S, entonces su integral a lo largo de la curva C es cero.
ProcedimientoEncontrar la región de integración S parametrizada (una superficie, es decir, 2 variables).
Calcular rot(F).
Calcular la integral de 2 variables del rotacional de F.

TEOREMA.
Sea S unasuperficie orientada, suave a trozos, limitada por la curva simple cerrada C, suave a trozos, con orientación positiva. Sea F(x,y,z) un campo vectorial cuyas componentes tienen primeras derivadas parcialescontinuas en alguna región abierta D⊆R3 que contiene a S. Entonces:
CFx,y,z. dr=Srot(F). N dsDemostración
Consideremos una superficie S limitada por una curva cerrada simple. Se divide S en N sub-regiones tan pequeñas que pueden considerarse planas con áreas ∆S1 ,∆S2,…,∆Sn, En los puntos xi,yi,zi de ∆Si de la definición del rotacional de:
N.∇XF∆Si=CiF.dr+εi∆Si
Donde εi→0, cuando ∆Si→0 y N es elvector normal unitario asociado con ∆Si, como se muestra en la figura, La suma sobre la superficie total S da:
i=1NN.∇XF∆Si=i=1NCiF.dr+εi∆SiAhora consideremos el límite de esta expresión cuando...