Teorema de euclides
Páginas: 4 (770 palabras)
Publicado: 8 de julio de 2013
Teorema de euclides
El teorema de Euclides sobre la infinitud de los números primos es el siguiente:
El conjunto formado por los números primos es infinito.
Euclides(~325 - 265 a) Demostración de Euclides
Euclides formuló la primera demostración en la proposición 20 del libro IX de su obra Elementos.1 Una adaptación común de esta demostración original sigue así:Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, •••, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno, q=p1p2 ••• pn+1. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto detodos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entoncesexistirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia q-p1p2 ••• pn=1, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado aun absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen a él, y esto esindependiente del conjunto finito que se tome.
Existen numerosas demostraciones parecidas a ésta, que se formulan a continuación:
Reformulación de Kummer
Supóngase que existe una cantidad finita denúmeros primos p1 < p2 < p3 < ... < pr. Sea N = p1•p2•p3•...•pr > 2. El entero N-1, al ser producto de primos, tiene un divisor pi que también es divisor de N; así que pi divide a N - (N-1) = 1. Esto esabsurdo, por lo que tiene que haber infinitos números primos.
Demostración de Hermite
Sea n=1, 2, 3, ... y qn el factor primo más pequeño de n! + 1 para cada n. Como qn tiene que ser mayor que n, sededuce que esta sucesión contiene infinitos elementos distintos, y que por tanto existen infinitos números primos.
Demostración de Stieltjes
Supóngase que existe un número finito de números...
El teorema de Euclides sobre la infinitud de los números primos es el siguiente:
El conjunto formado por los números primos es infinito.
Euclides(~325 - 265 a) Demostración de Euclides
Euclides formuló la primera demostración en la proposición 20 del libro IX de su obra Elementos.1 Una adaptación común de esta demostración original sigue así:Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, •••, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno, q=p1p2 ••• pn+1. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto detodos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entoncesexistirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia q-p1p2 ••• pn=1, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado aun absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen a él, y esto esindependiente del conjunto finito que se tome.
Existen numerosas demostraciones parecidas a ésta, que se formulan a continuación:
Reformulación de Kummer
Supóngase que existe una cantidad finita denúmeros primos p1 < p2 < p3 < ... < pr. Sea N = p1•p2•p3•...•pr > 2. El entero N-1, al ser producto de primos, tiene un divisor pi que también es divisor de N; así que pi divide a N - (N-1) = 1. Esto esabsurdo, por lo que tiene que haber infinitos números primos.
Demostración de Hermite
Sea n=1, 2, 3, ... y qn el factor primo más pequeño de n! + 1 para cada n. Como qn tiene que ser mayor que n, sededuce que esta sucesión contiene infinitos elementos distintos, y que por tanto existen infinitos números primos.
Demostración de Stieltjes
Supóngase que existe un número finito de números...
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