teorema de existencia y unicidad

Teorema De Existencia Y Unicidad

Sea dada una ecuación diferencial donde la función está definida en un recinto D del plano XOY que contiene el punto Si la función satisface a las condiciones:
es una función continua de dos variables x e y, en el recinto D;
 admite derivada parcial continua con respecto de x e y en el recinto D, entonces, existe una, y sólo una, solución de la ecuacióndada que satisface a la condición.

La condición se llama condición inicial.

El problema de la búsqueda de la solución de la ecuación que satisface la condición inicial, lleva el nombre de Cauchy.Geométricamente esto significa que se busca la curva integral que pasa por el punto dado del plano XOY (fig. 1.2).

Fig. 1.2
El teorema expresa las condiciones suficientes para la existencia desolución única del problema de Cauchy para la ecuación pero estas condiciones no son necesarias. Precisamente, puede existir una solución única de la ecuación que satisface a la condición, a pesar deque en el punto no se cumpla la condición a) o la condición b), o estas condiciones simultáneamente.

Ejemplos
1. Considere la ecuación diferencial
En los puntos del eje OX no se cumplen lascondiciones a) y b) (la función y su derivada parcial son discontinuas en el eje OX), mas, por cada punto del eje OX pasa por una sola curva integral.


2. Considere la ecuación diferencial
Elsegundo miembro de la ecuación y su derivada parcial son continuas con respecto a x y y en todos los puntos del plano X0Y. En virtud del teorema de existencia y unicidad, el recinto en el que laecuación dada tiene solución única es todo el plano X0Y.
3. Considere la ecuación diferencial
El segundo miembro de la ecuación es una función definida y continua en todos los puntos del plano X0Y.La derivada parcial se hace infinita para se infringe la condición b) del teorema de existencia y unicidad. Por consiguiente, es posible que no haya unicidad en los puntos del eje0X. Fácilmente se...