teorema de existencia y unicidad

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
Aplicado a las Ecuaciones Diferenciales
En este artículo mostraremos un ejemplo que te permitirá entender claramente el cómo interpretar el Teorema de Existencia de una solución única aplicado a las Ecuaciones Diferenciales (ED) Ordinarias de Primer Orden.
En el caso de las Ecuaciones Diferenciales (ED’s), existen 3 casos particulares que se pueden presentar alobtener las soluciones de una ED Ordinaria de Primer Orden, sobre todo si estas soluciones no se encuentran dentro de los límites que enuncia el Teorema de Existencia y Unicidad, y es en esta circunstancia particular, cuando se presentan los casos en donde la solución de las ED’s Ordinarias de Primer Orden, pueden ser:
1.- Una solución Única (cómo en el caso en donde la solución si está dentrode los límites del Teorema de Existencia y Unicidad)
2.- Una infinidad de soluciones
3.- Ninguna solución
Veamos estos casos para entender conceptos como el de intervalo de solución (representado por la letra y la región de continuidad o definición de los valores: (o lado derecho de una ED Ordinaria de Primer Orden, ) y (o derivada parcial del lado derecho de la ED Ordinaria de PrimerOrden).
RAZONAMIENTO INTUITIVO PARA ENTENDER EL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD:
Primero, recordemos las siguientes definiciones:
Forma general de un Ecuación Lineal de 1er Orden

Forma estándar de una ED lineal de 1er Orden

Dónde:
y

Otra forma de representar una Ecuación Diferencial de 1er Orden:

Ahora podemos leer con más claridad el Teorema, para entenderlo:
Teorema deExistencia y Unicidad de una Solución
“Supóngase que tanto la función y su derivada parcial son continuas en algún rectángulo en el plano xy que contiene el punto en su interior. Entonces, para algún intervalo abierto conteniendo el punto , el problema del valor inicial
,
Tiene una y solo una solución que está definida en el intervalo . (Como se ilustra en la figura 1, el intervalo desolución puede no ser tan “ancho “en continuidad como el rectángulo original )”.
Los conceptos importantes a considerar son:
1.- Función de dos variables
2.- Continuidad de una función de dos variables, y
3.- Solución de una ED Ordinaria de Primer Orden con ; esto es un problema de valores iniciales (PVI).
Interpretación del Teorema de Existencia y unicidad
En general, lo que nos indica elTeorema de Existencia y unicidad es que siempre habrá una solución para el problema de valores iniciales de una ED Ordinaria de Primer Orden, si la función &s=3 y su derivada &s=3 son continuas en el intervalo &s=3 y que la solución particular de la ED Ordinaria de Primer Orden, será continua en &s=3 .
Para ilustrar lo anterior, veamos la Figura 1, donde se grafica la solución del problema delvalor inicial (PVI):
Problema: con ;
Cuya solución particular es la función (ejemplo): .
Aquí vemos que:

Y que:

La función en realidad es una función , ya que es decir, es una constante para cualquier valor de , como se nota si hacemos .
Esta simplicidad nos sirve para poder graficar en 2 dimensiones la función , la cual queda como sigue:

Definicion del intervalo de solucion IFigura 1. Gráfica de la función y .
Esto nos indica que como las gráficas son continuas en intervalo que delimita el rectángulo , , entonces existe una solución para el problema del valor inicial (la cual ya conocemos) y es única; entonces graficamos, conservando los límites para corroborar el resultado. La gráfica de la Figura 2, nos muestra el resultado.

Teorema de Existencia y UnicidadFigura 2. Región del plano “ ”, donde está contenido el intervalo , que a su vez contiene a los valores iniciales . Notar que la solución , no atraviesa toda la región ., como se aprecia en la Figura 3.

Teorema de Existencia y Unicidad
Figura 3. En esta figura se ve que la función “sale” por debajo de la región en gris (rectángulo R), en vez de atravesar dicho rectángulo y salir en...