Teorema de gauss divergencia

Un faro está en una isla pequeña a 3 km de distancia del punto mas cercano P en una linea costera recta y su luz realiza 4 revoluciones por minuto. ¿Con que rapidez se mueve el haz de luz a lo largodel litoral costero cuando está a 1 km de P?

Respuesta:

Primero, haz un dibujo, traza una lìnea horizontal que representa la línea costera, llamemosla "L", luego traza un punto fuera de estalínea, llamemoslo "F" por faro, digamos ponlo arriba de la línea, este punto representa al faro, entonces si trazas la perpendicular a L que pasa por F, al punto que es la pie de la perpendicular (elpunto de cruce de la perpendicular con la línea L) es el punto P al que haces referencia.

Nota que la distancia de F a P es 3 km por tus datos, ahora traza sobre la línea L un punto a una distancia de1 km de tu punto P, llamemoslo M, puede ser antes o después, el resultado es exactamente el mismo.

Una vez hecho esto, observa que se forma un triángulo rectángulo con los puntos M, P y F, doscatetos miden 3 y 1 km respectivamente por lo que la hipotenusa mide raiz(10) km, observa que esta hipotenusa es la línea que sigue la luz del faro sobre la línea costera. En este triángulo llama theta alángulo que se forma en el vértice F, este ángulo varía con respecto al tiempo ya que la luz del faro se esta moviendo, observa que el dato de 4 revoluciones por minuto se traduce en lo siguiente:d(theta)/dt=
=(4 revolucion)*(2*pi radianes/revolucion)/(1 minuto)=
=8*pi radianes/minuto.

Esto mide la razón de cambio del ángulo theta respecto al tiempo.

Ahora, es claro que el punto M se"mueve" conforme el haz de luz se va moviendo, así que la posición de M respecto al punto P va cambiando, llamemos a esta posición x (nota que en x=1 km te están pidiendo la rapidez del haz de luz).Bueno una vez entendido esto, procedemos a escribir los cálculos de la solución:

Por trigonometría:

x=3*tan(theta) km

Derivando respecto de t:

dx/dt=3*sec^2(theta)*d(theta)/dt....(*…...