Teorema de Gauss, green y stokes

Teorema de Gauss o de la divergencia.

Si bien este es un teorema que nos relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie. Intuitivamente se puede concebir como la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los sumideros da el flujo de salida neto de una región.

Sea , un campovectorial de clase , es decir, cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.
Entonces tenemos que:





Ahora veremos un ejemplo:

Calcular el flujo del campo vectorial a través de la superficie esférica



A partir de la ecuación de la esfera se sabe que el radio es . Entonces:




Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:



Este es un teorema de suma importancia, sobre todo enfísica en las materias de electroestática y dinámica de fluidos
Ahora pasaremos a explicar el concepto de flujo del campo eléctrico el cual consiste en el producto escalar del vector campo por el vector superficie F =E·S.

El vector superficie es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene.
Cuando el vector campo E y elvector superficie S son perpendiculares el flujo es cero.

Entre las numerosas aplicaciones del teorema de Gauss podemos encontrar:

1. Campo eléctrico creado por una esfera uniformemente cargada:
En un punto A a una distancia R del centro de la esfera podemos calcular el campo del siguiente modo: Tomamos como superficie gaussiana  una superficie esférica de radio R con el mismo centro que la esferacargada y sabemos que por razones de simetría en todos los puntos de la esfera el campo vale lo mismo, E y además el campo será perpendicular a la superficie, por lo que al hacer la integral de E. dS nos queda simplemente E S donde S es la superficie de la esfera de radio R
 
F = E S = E 4 P R2 = Q / eo   =>      E =   Q /4 P eoR2   
E = K Q / R2
Observamos que el campo creado por una carga Qdistribuida uniformemente por una esfera es el mismo que el de una carga puntual Q  colocada en el centro de la esfera.










2. Carga puntual.- Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico  es paralelo al vector superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.
En consecuencia:igualando a  la carga q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε0,

E 4pr2 = Q/e0
Obtenemos el campo eléctrico creado por una carga puntual a una distancia r:










3. Campo creado por un hilo conductor cargado e indefinido.
En un punto “A”, en una distancia R del centro de la esfera podemos calcular el campo del siguiente modo: Tomamos como superficie gaussiana  unasuperficie cilíndrica de radio R ocupando el hilo la posición del eje principal, por razones de simetría el campo tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie cilíndrica y es perpendicular a la superficie, por tanto:
F = E S = E 2 P R L = Q / eo   =>      E =   Q /2 P R L eo
E = l  / 2 p r eo
Donde l es la densidad lineal de carga l/L.








Teorema de Stokes

Se define como laproposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes .Sea S una superficie orientada y suave a segmentos, esta acotada por una curva fronteraC suave a segmentos cerrada y simple cuya orientación es positiva.

El Teorema de Stokes establece que el cálculo de la integral de línea del campo vectorial F en la dirección tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la superficie S de la circulación del campo F alrededor de la frontera, en la dirección de la componente normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una...