Teorema De Gauss

Teorema de Gauss







Flujo de un campo vectorial


El flujo de un campo vectorial a través de una superficie es un concepto matemático de gran utilidad en física: electromagnetismo, mecánica de fluidos, etc.

El flujo Φ de un campo vectorial V a través de una superficie S se define como la integral de superficie

Φ = ∫ V cos θ dS = ∫ V n dS (15)S S

donde n es el vector unitario normal a la superficie S en cada punto. La orientación de n se adopta por convenio como sigue: si S es una superficie cerrada (en cuyo caso aparece un circulito en el signo integral), n apunta siempre hacia afuera del volumen; si S es abierta, n se orienta en el sentido en que avanza un tornillo de rosca derecha cuando gira en elsentido de la circulación fijada para el contorno de S. El flujo de campo eléctrico puede verse, en definitiva, como el número de líneas de fuerza que atraviesa una determinada superficie.

El flujo total puede ser positivo, negativo o nulo. Si es positivo, se denomina saliente, y si es negativo entrante. Esto proviene de la aplicación de (15) al campo de velocidades de un fluido, la cual da elflujo de fluido a través de S.

Si S es una superficie cerrada, la ec. (15) puede reescribirse de la siguiente forma: tómese un punto arbitrario P en el interior de S; por definición, el elemento de ángulo sólido dΩ subtendido por la superficie diferencial dS desde el punto P es dΩ = dS cosθ / r2, donde r es la distancia de P a dS, y θ es el ángulo que forman la normal a dS y la línea queune P con dS. Sustituyendo esto en (15) queda

F = ∫ V r2 dΩ (16)
4π






Ley de Gauss para el campo eléctrico



Considérese el flujo del campo eléctrico de una carga puntual q, a través de una superficie cerrada arbitraria S que la contiene. Sustituyendo la ec (4) en (16) y tomado P donde está q, obtenemos

Φ = ∫ (q / 4π∈0r2)r2 dΩ = (q /4π∈0)4π = q / ∈0 (17)

Supongamos una carga q' exterior a la superficie cerrada S, entonces el flujo eléctrico es cero, porque el flujo entrante es igual al saliente. En efecto, consideremos dos elementos de superficie opuestos dS' y dS'', subtendidos por el mismo ángulo sólido diferencial desde q'; el flujo a través de dS' es igual en magnitud, pero de signo opuesto, al flujo eléctrico através de dS'', por consiguiente su suma es cero.



Si hay varias cargas en el interior de la superficie arbitraria S, el flujo eléctrico total será la suma de los flujos producidos por cada carga, en virtud del principio de superposición. Se puede establecer pues la ley de Gauss: el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria que encierra una carga eléctrica neta q en suinterior es

Φ = ∫ E n dS = q/∈0 (18)
S

Esta ley, obtenida analíticamente por el insigne matemático Gauss, es especialmente útil para calcular el campo producido por distribuciones de cargas que presentan ciertas simetrías.

Ejemplos de resolución del teorema de Gauss:


Carga puntual


Eligiendo cono superficie una esfera centradaen la carga, el campo eléctrico es normal a la superficie, luego

Φ = ∫ E n dS = E ∫ dS = E S = E 4πr2 = q/∈0
entonces

E = q /4π∈0r2.





Superficie esférica


Se elige la misma superficie esférica. En un punto del interior, al no haber cargas encerradas, se tiene q/∈0 =0, es decir, Eint =0. En el exterior, es válido el resultado anterior.


Lámina conductoraSupóngase una distribución uniforme de carga σ. Elegimos, por cuestiones de simetría, como superficie un cilindro normal a la lámina. El campo eléctrico es normal a la lámina, luego el flujo por la pared del cilindro es nulo y tan sólo hay flujo en sus caras planas, con incidencia normal,

Φ = ∫ E n dS = E ∫ dS = E S = E 2 πr2 = q/∈0

La carga encerrada es q = σ A = σ πr2, luego...