Teorema de godel

Aproximación al Teorema Kurt Gödel

En 1931 Gödel publicó un artículo titulado "Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados". La proposición VI deeste artículo es lo que se conocería como primer teorema de Gödel. Esta proposición dice así:
* Proposición VI.
"A toda clase c de fórmulas w-consistente recursivas le corresponde unaclase-signo r tal que ni v Gen r ni Neg (v Gen r) pertenecen aFlg(c), donde v es la variable libre de r".
Esto, dicho tal cual, puede sonar bastante enrevesado, pero podríamos afirmar que el teorema deGödel dice:
En todo sistema axiomático existen proposiciones sobre las cuales no vamos a poder demostrar si son ciertas o falsas. Gödel asimismo afirmaba que si un sistema es consistente, entonceses incompleto, y si el sistema es completo, entonces es inconsistente.
* ¿Qué es un sistema?, ¿qué es una proposición?, ¿qué significa que sea consistente o incompleto?
* En primer lugar, un sistema esun conjunto de axiomas y reglas de inferencia.
* Una proposición es una afirmación que puede ser cierta o falsa. Por ejemplo, en un sistema aritmético, una proposición podría ser "2+2=4". Laproposición sería cierta. Otra proposición puede ser "3+1=7" en cuyo caso sería falsa.
* En lo referente a completitud y coherencia, un sistema es completo cuando dentro de el sistema puededeterminarse el status de veracidad o falsedad de toda proposición dentro él; es decir, cuando siempre podemos saber si la proposición es cierta o falsa. Los sistemas incompletos tienen proposiciones las cualesno podemos saber si son ciertas o falsas. Asimismo, un sistema es coherente cuando no hay contradicciones de ningún tipo ni tiene ninguna paradoja; y obviamente, es incoherente cuando nos encontramoscon contradicciones y paradojas.
Sistema consistente (sistema limpio de paradojas y contradicciones) ⇒ incompleto
Sistema completo (sistema donde toda proposición puede ser demostrada o...