Teorema De Godel

El teorema de Gödel, sobre la verdad y la demostrabilidad
El teorema de Gödel es equiparable por su importancia a la teoría de la relatividad de Albert Einstein, y es una de las construcciones fundamentales de las matemáticas de todos los tiempos. Gödel utilizó el rigor de las matemáticas para demostrar, sin lugar a dudas, que las matemáticas mismas son incompletas. En su artículo de 1931, Gödeldemuestra que en cualquier sistema lógico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir, basándonos en la propia lógica matemática del sistema. Antes de Gödel esto ni siquiera se consideraba, pues lo interesante de un enunciado era poder demostrar que era verdadero o bien era falso. A partir de Gödel aparece una diferencia muy sutilentre verdad/falsedad y demostrabilidad.
El teorema de Gödel tiene que ver con enunciados que hacen referencia a sí mismos. Sócrates afirmaba, en su famosa frase:" Yo sólo sé que no sé nada". Se contradecía, al afirmar que sólo sabía una cosa y, al mismo tiempo, no sabía nada:hacía referencia a si mismo y ahí es donde residía su contradicción. A principios del siglo XX (1902) el gran matemático yfilósofo Bertran Russell, que entonces era un joven de 30 años, le envió una carta al gran matemático Gottlog Frege, uno de los creadores de la lógica simbólica, en la que le planteaba una paradoja que generaba una contradicción en su sistema de axiomas (ver explicación sencilla). Frege había publicado ya un primer tomo tratando de sistematizar toda la matemática en base a la pura lógica, pero alrecibir la carta de Russell se dio cuenta que la obra de sistematización, que le había empleado toda su vida, quedaba en entredicho. Así lo reflejó, con tristeza, al publicar su segundo tomo en el que debía concluir su labor sistematizadora.
Al cabo de unos años (1913), el propio Rusell y otro gran matematico, Alfred North Whitehead, trataron de reparar el daño hecho por su paradoja, alformidable edificio de la lógica matemática, escribiendo una obra monumental que titularon Principia Mathematica. Llegaron a desarrollar un sistema matemático de axiomas y reglas de inferencia, cuyo propósito era el que fuera posible traducir en su esquema todos los tipos de razonamientos matemáticos correctos. Todo estaba especialmente cuidado para impedir los tipos de razonamiento paradójico queconducían a la propia paradoja de Russell. Posteriormente, el matemático David Hilbertse embarcó en la tarea de establecer un esquema mucho más manejable y comprensible. Se incluirían todos los tipos de razonamientos matemáticamente correctos para cualquier área matemática particular. Además, pretendía que fuera posible demostrar que el esquema estaba libre de contradicciones. Entonces, las matemáticasestarían situadas, para siempre, sobre unos fundamentos inatacables,
Pero en 1931 Kurt Gödel, un joven matemático austríaco de 25 años, publicó su famoso artículo" Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados" y desmontó, definitivamente, la soberbia estructura montada sobre la lógica matemática, que se suponía completa. Destrozó el programa planeadopor Hilbert, porque demostró que cualquiera de estos sistemas matemáticos precisos (formales) de axiomas y reglas de inferencia (finitos), siempre que sea lo bastante amplio para contener descripciones de proposiciones aritméticas simples y siempre que esté libre de contradicción, debe contener algunos enunciados que no son demostrables ni indemostrables con los medios permitidos dentro delsistema. De hecho, por sorprendente que parezca, Gödel demostró que el mismo enunciado de la consistencia del propio sistema axiomático debe ser una de esas proposiciones indecidibles.
Gödel nos descubrió que la verdad es una categoría superior a la demostrabilidad, y que su argumento nos da la posibilidad, mediante intuición directa, de ir más allá de las limitaciones de cualquier sistema...