Teorema de Green

Teorema de Green
En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitadapor C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:
Sea C una curva cerrada simplepositivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,

\int_{C^{+}} (L\, dx + M\,dy) = \int\!\!\!\int_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA

A veces la notación
\oint_{C^{+}} (L\, dx + M\, dy)
se utiliza para establecer que laintegral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.
Relación con el teorema de la divergencia[editar · editar código]

El teorema de Green esequivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:

\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} ds, donde \mathbf{\hat n} es el vector normalsaliente en la frontera.
Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como d\mathbf{r} = \langle dx, dy\rangle es un vector apuntando tangencialmente a través de unacurva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia laderecha, el cual podría ser \langle dy, -dx\rangle. El módulo de este vector es \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds. Por lo tanto \mathbf{\hat n} ds = \langle dy, -dx\rangle.
Tomando los componentes de \mathbf{F}= \langle P, Q\rangle, el lado derecho se convierte en
\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} ds = \int_C (P dy - Q dx)
que por medio del teorema de Green resulta:
\int_C (-Q dx + P dy) = \iint_{D}...