teorema de green

Cap´
ıtulo 11

El teorema de Green
El teorema de Green relaciona la integral de l´
ınea de un campo vectorial
sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra
la curva. Este tipo de teoremas resulta muy util porque, dados un cam´
po vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo,
podemos elegir la posibilidad m´s simple entre integrar elcampo directaa
mente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales
cruzadas sobre en recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relaci´n
o
as´ establecida entre la integral de l´
ı
ınea sobre una curva y la integral doble
sobre la regi´n interior a ´sta permite a veces obtener informaci´n sobre
o
e
o
una funci´n o su integral en un recinto a partir delcomportamiento de la
o
funci´n sobre la frontera de dicho recinto. Los ejemplos y ejercicios de este
o
cap´
ıtulo ilustrar´n las diversas posibilidades y aplicaciones de este tipo de
a
resultados, que generalizaremos a integrales sobre superficies en R3 en los
siguientes cap´
ıtulos.
Antes de enunciar el teorema de Green convendr´ precisar qu´ entenıa
e
demos por una curva cerrada simpleorientada positivamente. Sabemos ya
que toda curva simple tiene dos posibles orientaciones, y que ´stas son ine
variantes por reparametrizaciones cuyas funciones de cambio de variables
tiene derivada positiva. Ahora bien, ¿c´mo distinguir entre una y otra orio
entaci´n? ¿Qu´ hacer para privilegiar y reconocer una de las dos? Hay varios
o
e
procedimientos para conseguir esto. Quiz´ el m´sintuitivo sea el siguiente,
a
a
que presenta el concepto de normal unitaria exterior a una curva.
Si C es una curva cerrada simple regular a trozos en R2 , parametrizada
por γ(t) = (x(t), y(t)), el vector normal unitario exterior a C se define por
N (t) =

1
x

(t)2

+ y (t)2
113

y (t), −x (t) .

CAP´
ITULO 11. EL TEOREMA DE GREEN

114

N´tese que N es ortogonal al vectortangente o velocidad de la curva, V (t) =
o
(x (t), y (t)). Consideremos estos vectores sumergidos en R3 (con coordenada
z = 0). Diremos que C est´ orientada positivamente si el producto vectorial
a
N × V (que tiene la direcci´n del eje z en este caso) tiene coordenada z
o
positiva (es decir, N × V apunta hacia arriba) para cada t. Esta definici´n
o
corresponde intuitivamente a decir que C serecorre en el sentido contrario al
de las agujas del reloj, o bien que si recorremos C con la orientaci´n positiva
o
entonces N apunta hacia afuera de la regi´n interior a C, y que dicha regi´n
o
o
interior queda siempre a mano izquierda seg´n se va recorriendo C.
u
Otra posibilidad para definir la orientaci´n de una curva cerrada simple
o
ser´ utilizar el n´mero de giros (the windingnumber); ver el problema 11.17.
ıa
u
Diremos que una curva cerrada simple C ⊂ R2 es regular a trozos si se
puede parametrizar mediante un camino γ que a su vez puede escribirse como
concatenaci´n γ1 ∗ ... ∗ γk de una cantidad finita de caminos γj : [aj , bj ] → R2
o
cada uno de los cuales es de clase C 1 y satisface que γj (t) = 0 para todo
t ∈ [aj , bj ] (en particular, γ podr´ dejar de serdiferenciable en una cantidad
a
finita de puntos, pero incluso en estos tendr´ derivadas laterales). Para esta
a
clase de curvas cerradas simples enunciaremos y demostraremos el teorema
de Green.
Teorema 11.1 (de Green) Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano R2 , y sea D la uni´n de la regi´n
o
o
2 un campo
interior a C con la propia curva C.Sea F = (P, Q) : D −→ R
vectorial de clase C 1 . Entonces se tiene que
P dx + Qdy =
C

D

∂Q ∂P
−
dxdy.
∂x
∂y

Antes de dar una demostraci´n de este importante teorema, veamos alo
gunos ejemplos y aplicaciones del mismo.
Ejemplo 11.2 Integrar el campo F (x, y) = (x, xy) sobre la circunferencia
x2 + y 2 = 1 recorrida en sentido positivo.
Ejemplo 11.3 Calcular el trabajo realizado...