Teorema De Green

CALCULO VECTORIAL








RICARDO VEGA HERNÁNDEZ
Matemático Universidad Nacional









BOGOTA D.C.














EJEMPLOS Y APLICACIONES DE L TEOREMA DEGREEN


Ejemplo 1: emplear el teorema de Green para la integral de línea de:


∫c y 2 dx + 4xy dy


Donde c es la curva cerrada que consta del arco de la parábola y = x2 desde el origenhasta el punto(2,4) y el segmento rectilíneo de (2,4) al origen. La región R con la frontera C se muestra en la figura.

y
[pic] x2



∫c y 2 dx + 4xy dy = ∫∫R [ ð/ðx (4xy)- ð/ðy (y2)]
2 2x= ∫ ∫ 2 (4y – 2y) dy dx
0. x
2 2x= ∫ y 2 ] 2
0. x
2
= ∫(4x2- x-4) dx0
= 4∕ 3 x3 – 1/5x5

= 64/5Debido a que el físico ingles George Green introdujo este teorema para solucionar problemas de electricidad y magnetismo, he querido mostrar una pequeña aplicación de esta materia.

Ejemplo 2:Emplear el teorema de Green para calcular el trabajo total realizado al desplazar un objeto en dirección en dirección contraria a la del reloj, una vez, alrededor de la circunferencia x2 + y2 = a2 ,si el movimiento es provocado por un campo de fuerza F(x,y) = sen (x-y)i + (ey- x2)j. Supóngase que el arco se mide en metros, y la fuerza en newtons.

Solución : si W joules es el trabajo...