Teorema de la divergencia.

El teorema de la divergencia
El teorema de la divergencia, conocido también como el Teorema de Gauss, establece una forma analítica del cálculo de la integral de un campo vectorial sobre unasuperficie como una simple integral de volumen. Específicamente el teorema de la divergencia dice que:
           (1)
donde S es una superficie cerrada cuyo interior contiene al volumen V, F es un campovectorial arbitrario, y  es, como siempre, el vector unitario normal a la superficie. En esta sección nuestro objetivo será aplicar este teorema, dejando su demostración para más adelante. De momentopodemos pensar que que el flujo de F a través de la superficie S es igual a la divergencia de F tomada a través del volumen V.
En la sección anterior habíamos evaluado (con cierta dificultad) laintegral

donde S es la superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = a2, y  F = x3 i + y3 j + z3 k, y cuyo resultado fue 12a5 / 5. Esta vez aplicaremos la fórmula dada en (1).
La divergenciade F = x3 i + y3 j + z3 k es

de modo que debemos calcular la integral

Puesto que el volumen V corresponde al interior de una esfera, centrada en el origen, de radio a parece natural hacer cambio de variable y utilizarlas coordenadas esféricas, esto es

donde el dominio de las variables (, , ) es

y además

De modo que obtenemos la siguiente integral

puesto que x2 + y2 + z2 =  2. Efectuando loscálculos, nos queda

Como podemos observar, el cálculo del flujo es analíticamente más manejable a través de la divergencia sobre el volumen. Veamos otro ejemplo.
Calcular el siguiente flujo

donde S esla superficie del sólido constituido por el plano z = 3x + 2 y el cilindro x2 + y2 = 4.
La divergencia del campo vectorial F = 2y i + 3z k es div F = 3. Por otro lado, para describir el volumenutilizaremos las coordenadas cilíndricas, esto es

y además

donde el dominio de las variables (, , z) está dado por

de modo que

Como podemos observar, la aplicación del teorema de...