teorema de la divergencia

           TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Uno de los teoremas importantes es el Teorema de la Divergencia llamado también Teorema de Gauss en honor a su descubridor.
Este teorema se refiere alcálculo del flujo a través de una superficie cerrada “S” que es la frontera de una Región Q cualquiera en el espacio. Entonces S puede ser cualquier superficie de revolución como por ejemplo Cubos,paraboloides, Tetraedros, etc..
Por lo mencionado anteriormente se puede decir que el Teorema de Gauss establece una forma analítica del cálculo integral de un campo vectorial sobre una superficie como unaintegral de volumen.
Específicamente el teorema de la divergencia dice que:

Ejemplo de aplicación


Esfera de radio 2.
Calcular el flujo del campo vectorial  a través de la superficie esférica Resolución. A partir de la ecuación de la esfera se sabe que el radio es . Entonces:


Como las 3 igualdades son simétricas basta con demostrar una de ellas y el resto es igual, pero debido a quetenemos que demostrar una de ellas tendremos que transformar el teorema de gauss a su forma cartesiana. De donde x,y,z son ángulos directores para n.
De modo que la ecuación de la divergenciaquedara:


Como S es simple, puede expresarse por medio de las desigualdades f1(x, y) < z < f2(x, y), como s corresponde a 3 partes queda asi: S1 correspondiente a z = f1(x, y), S2 correspondiente a   z =f2(x, y), y la superficie S3 que puede ser vacía.
En S3 el cos γ = 90 = 0 de manera que podemos ignorar su intervención.  El resultado al que hemos hecho referencia supone que el vector normal napunta hacia arriba. Por lo tanto al aplicarlo a S1, donde n es una normal inferior debemos cambiar de signo.
LA DIVERGENCIA COMO UN LÍMITE
La divergencia de F en P es el límite del flujo por unidadde volumen a través de una esfera con centro en P, cuando el radio de la esfera tiende  a 0.En particular si F representa la velocidad del fluido, entonces [div F]P se puede interpretar como la...