Teorema de la envolvente

5.3. GEOMETR´ Y MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
IA

130

Como el problema consta unicamente de funciones diferenciables podemos aplicar la funci´n La´
o
grangeano para encontrar un ´ptimo. Dadoesto, el cambio de la funci´n valor ante cambios en c
o
o
equivalen al cambio de la funci´n Lagrangeano ante cambios en c, es decir
o
∂V
∂L
(c) =
(x(c), λ(c), c)
∂ci
∂ci
´
o
Demostracion.Consideremos el caso en que f, gi ∀i son c´ncavas.
Consideremos la funci´n Lagrangeano
o
k

L(x, λ) = f (x, c) +

λi gi (x, c)
i=1

Sea x(c) una soluci´n ´ptima del problema, tenemos que
o ok

∂L
∂f
∂gi
(x(c), λ(c), c) =
(x(c), c) +
λi (c)
(x(c), c) = 0
∂xi
∂xi
∂xi
i=1

(*)

Por otra parte,
n

∂f
∂xi
∂V
∂f
(c) =
(x(c), c) +
(x(c), c)
(c)
∂ci
∂ci
∂xi
∂cii=1

(**)

Reemplazando (*) en (**) se obtiene
k

∂f
∂V
(c) =
(x(c), c) −
λi (c)
∂ci
∂ci
i=1

n

i=1

∂gi
∂xi
(x(c), c)
(c)
∂xi
∂ci

Pero, gi (x(c), c) = 0 ∀i, entonces
ni=1

∂xi
∂gi
∂gi
(x(c), c)
(c) +
(x(c), c) = 0
∂xi
∂ci
∂ci

(***)

Reemplazando (***) en (**) se obtiene
k

∂f
∂gi
∂V
(c) =
(x(c), c) +
λi (c)
(x(c), c)
∂ci
∂ci
∂ci
i=1que no es otra cosa sino
∂V
∂L
(c) =
(x(c), λ(c), c)
∂ci
∂ci
Nota 5.5. El caso de minimizaci´n es an´logo. Basta con tomar f convexa y como −f es c´ncava
o
a
o
se concluye.
Ejemplo 5.15.m´x
a
s.a

√

xyz
x + 2y + 3z

=c

5.3. GEOMETR´ Y MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
IA

131

La funci´n Lagrangeano corresponde a
o
L(x, λ) =

√

xyz − λ(x + 2y + 3z − c)

Resolviendolas condiciones de primer orden obtenemos
√
yz
∂L
√ −λ=0
=
∂x
2 x
√
xz
∂L
=
√ − 2λ = 0
∂y
2 y
√
xy
∂L
√ − 3λ = 0
=
∂z
2 z
∂L
= c − x − 2y − 3z = 0
∂λ
Reordenando paradespejar x, y, z en cada ecuaci´n respectivamente, obtenemos
o
x

=

y

=

z

=

yz
4λ2
xz
16λ2
xy
36λ2

Luego de dividir la primera de estas ecuaciones por la segunda y la segunda...