Teorema De La Funcion Inversa

Teorema de la función inversa
En la rama de la matemática denominada análisis matemático, el teorema de la función inversa proporciona las condiciones suficientes para que una aplicación seainvertible localmente en un entorno de un punto p en términos de su derivada en dicho punto. Técnicamente es un teorema de existencia local de la función inversa. El teorema puede enunciarse paraaplicaciones enRn o se puede generalizar a variedades diferenciables o espacios de Banach.
Contenido  [ocultar]  * 1 Enunciado del Teorema * 2 Ejemplo * 3 Generalizaciones * 3.1 Variedadesdiferenciables * 4 Véase también * 5 Referencias |
[editar]Enunciado del Teorema
La versión en  del teorema es la siguiente: Sea  una función C1. Supongamos que para , la diferencial  es invertible yque . Entonces existen abiertos  tales que ,  y  es una función biyectiva por lo que la inversa  de  es C1 y por lo tanto .
Existe una versión del teorema en espacios de Banach, que es una generalizaciónde lo anterior. Sin embargo, la versión presentada es la que se presenta frecuentemente en la literatura puesto que su comprensión es más fácil. La demostración del teorema no es sencilla, puedeconsultarse en las referencias puesto que entre se requiere aplicar el teorema del punto fijo de Banach y la norma matricial además de otros resultados del análisis matemático que se obtienen de lacaracterización de la convexidad.
[editar]Ejemplo
Consideremos la función F de R2 en R2 definida por

Su matriz jacobiana es

y su determinante

Como el determinante e2x es no nulo en todo punto,aplicando el teorema, para cada punto p de R2, existe un entorno de p en que F es invertible.
[editar]Generalizaciones
[editar]Variedades diferenciables
En este contexto, el teorema afirma que dadauna aplicación F : M → N entre dos variedades diferenciables, si la diferencial de F,
(dF)p : TpM → TF(p)N
es un isomorfismo lineal (es decir, isomorfismo entre espacios vectoriales) en un...