Teorema De La Proporcionalidad

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Teorema de proporcionalidad

Teorema fundamental de la proporcionalidad:
Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente. Y su recíproca establecida en el teorema 9.7: si una recta interseca a dos lados de un triángulo y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.Bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.
Aplicación en triángulos
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto sellama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (A, B) y (A, C). Como O pertenece a D', entonces tambiénequidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (A, C) y (B, C), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.

Triángulos semejantes
Dadoslos triángulos ABC y A'B'C' determinamos los lados y ángulos homólogos.
Lados homólogos:
a y a', b y b', c y c' 
Ángulos homólogos:

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
La razón de los perímetros de los triángulos semejantes esigual a su razón de semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

Criterios de semejanza
1 Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

 
2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

 
3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entreellos igual.

Ejemplos prácticos
1. Determinar la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

2. Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

Ejemplos de bisectriz

Teorema de polígono

Consideraun polígono P y un triángulo T con una arista en común con P. Asumimos que el teorema de Pick es cierto de forma independiente tanto para P como para T; queremos mostrar que también es cierto para el polígono PT que se obtiene añadiendo T a P. Dado que P y T comparten una arista, todos los puntos del borde a lo largo de la arista en común se añaden como puntos interiores, excepto los dos puntos enlos extremos que se añaden como puntos en el borde. Así, siendo c el número de puntos en el borde en común, tenemos que

de manera que

Dado que se está asumiendo que el teorema es cierto para P y T,

Sabiendo que cualquier polígono puede triangularse, si el teorema es cierto para P, pudiendo ser construido mediante  triángulos, también será cierto para polígonos construidosmediante  triángulos. Para terminar la prueba por inducción, se debe demostrar entonces que el teorema es cierto para cualquier triángulo.
Siendo cierto el teorema para cuadrados de lado 1, se puede deducir igualmente por inducción que lo es para rectángulos con lados paralelos a los ejes. Con ello, también es cierto, mediante aritmética básica, para los triángulos rectángulos resultantes de seccionar el...