Teorema De La Tangente

Teorema de la tangente
En trigonometría, el teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos.
En laFigura 1, a, b, y c son las longitudes de los tres lados del triángulo, y α, β, y γ son los ángulos opuestos a estos tres lados respectivamente. El teorema de la tangente estableceque:

Aunque el teorema de la tangente no es tan conocido como el teorema del seno o el teorema del coseno, es exactamente igual de útil, y se puede utilizar en cualquiera de los casosdonde se conocen dos lados y un ángulo o cuando se conocen dos ángulos y un lado.
Demostración
Para demostrar el teorema de la tangente se puede empezar con el teorema del seno:


Llamando"q" al resultado de este cociente, se obtiene que: , , por tanto


Utilizando la fórmula de Simpson:

con  y  se obtiene




Teorema del coseno
El teorema del coseno es también conocidopor el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo es recto o, dicho de otro modo, cuando , el teorema delcoseno se reduce a:

que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.
El teorema se utilizaen triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar
el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:
.
los ángulos de un triángulo cuandoconocemos los tres lados:
.
Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeñorespecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.
Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'
.