Teorema de las cuerdas de una circunferencia

Teorema de las cuerdas de una circunferencia
Universidad Favaloro
Laboratorio de Física

Inés Guerra

María Larreguy

Juan Mousquere

ineguerra@usa.net

merigl@yahoo.com

jotaclau@mixmail.com

Santiago Paz
pazsantiago@hotmail.com

Resumen
El propósito de este trabajo es investigar tanto teórica como experimentalmente la
validez del teorema de las cuerdas de Galileo cuando se tiene en cuenta elrozamiento del objeto
que cae a lo largo de una cuerda de una circunferencia.
En nuestro caso, estudiamos el movimiento de una esfera que cae por una cuerda,
rodando por la misma.

Introducción
Cuando se suelta una piedra ésta cae cada vez más rápidamente, con movimiento uniformemente
acelerado. La inquietud de Galileo era conocer las leyes matemáticas que rigen este movimiento
acelerado. Pero lacaída libre de los cuerpos se produce demasiado rápido como para estudiarla en detalle
sin el empleo de aparatos modernos, como por ejemplo, la fotografía instantánea, o sistemas automáticos
de adquisición de datos.
A principio del siglo XVII Galileo estableció experimentalmente que la distancia recorrida por
un cuerpo que desciende por un plano inclinado aumenta proporcionalmente al cuadrado dellapso
empleado en recorrerlo. Para ello, experimentó con una pequeña esfera que dejaba caer sobre un plano
inclinado. Realizó la experiencia para inclinaciones cada vez mayores con lo que argumentó que la
relación debería cumplirse para el caso límite de un plano vertical. Su problema era como extrapolarlo al
caso límite, cosa que solucionó demostrando el teorema de las cuerdas de unacircunferencia.
El enunciado del teorema es [1-5]:
“El tiempo que tarda una partícula en recorrer cualquier cuerda de una circunferencia vertical es
independiente del ángulo que forma la cuerda con la horizontal.”
Nuestra inquietud en este tema es como afecta la fuerza de rozamiento a la esfera ya que
queremos que este experimento se asemeje lo mejor posible a la realidad misma.
Primero realizamos un análisisteórico del problema teniendo en cuenta la fuerza de roce. Luego
construimos un dispositivo experimental para verificar los resultados teóricos.

Análisis teórico del teorema considerando condiciones de rozamiento
Sea una esfera de masa m que rueda por un plano inclinado (es preciso tener claramente en
cuenta la fuerza de rozamiento). Si realizamos un diagrama de cuerpo libre figura 1 A).

Teorema delas cuerdas de una circunferencia - I. Guerra, M. Larreguy, J. Mousquere y S. Paz

1

B)

A)

Ν

R

R
b

Fr
m.g.Cos θ

m.g θ
w

Figura 1. A) Diagrama de cuerpo libre de una esfera, de radio R, que rueda sobre una canaleta , de
ancho W, en un plano oblicuo. La esfera interna que representa el punto de contacto con la
canaleta. B) Vista frontal de la esfera en la canaleta, podemos observar lospuntos de contacto
entre ambas

Ahora, escribimos las ecuaciones que modelan el sistema.
Fr . b = I . α

a
α=
b

(1)
(2)

m . g . sen θ - Fr = m . a

(3)

2
I = . m . R2.
5

(4)

Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (4) en la ecuación (1), y sumamos las ecuaciones (1) y (3),
despejando, obtenemos:
a =

g . sen φ

2 R
1 + . 
5b

2

(5)

Obtención de b:

W 
+ 
2
W2
b2 = R2 −
4

R =b
2

22

(6)

Como podemos observar en la ecuación (5) la aceleración con la cual la esfera rueda por la canaleta
inclinada, no depende de la fuerza de rozamiento. Sin embargo, ello es imprescindible para lograr que la
esfera ruede.
Ahora, consideremos una circunferencia de diámetro D (ver figura 2) y una cuerda cualquiera L, que
forma un ángulo θ con la horizontal. En este caso, la cuerda L, vendría aser la canaleta por la que la
esfera rueda.
El movimiento que realiza la esfera es un movimiento uniformemente acelerado. La ecuación que
representa su movimiento es:
1
L = ⋅ a ⋅ t2
(7)
2

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2

donde, L es la distancia recorrida, t el tiempo en que tarda en recorrer esa distancia y a la aceleración,...