Teorema De Los Cosenos
Páginas: 4 (899 palabras)
Publicado: 23 de abril de 2012
Teorema de los Cosenos
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona unlado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Teorema del cosenoDado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los ladosrespectivamente opuestos a estos ángulos entonces: |
En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sinembargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores
Demostraciones
Por desglose de áreas
Fig. 4a - Demostración del teorema del cosenopor desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.
Un cierto número de las demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que
* a², b², c² son las áreasde los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
* ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).
Dado que cos(γ) cambiade signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en 2 casos
La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema delcoseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:
* En verde, las áreas a², b² la izquierda, y el área , c² a la derecha.
* En rojo, el triángulo ABC en ambos diagramas y enamarillo triángulos congruentes al ABC.
* En azul, paralelogramos de lados a y b con ángulo 90°-γ.
Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que , equivalente al Teorema delcoseno.
Fig. 4b - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es obtuso.
La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el...
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona unlado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Teorema del cosenoDado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los ladosrespectivamente opuestos a estos ángulos entonces: |
En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sinembargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores
Demostraciones
Por desglose de áreas
Fig. 4a - Demostración del teorema del cosenopor desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.
Un cierto número de las demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que
* a², b², c² son las áreasde los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
* ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).
Dado que cos(γ) cambiade signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en 2 casos
La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema delcoseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:
* En verde, las áreas a², b² la izquierda, y el área , c² a la derecha.
* En rojo, el triángulo ABC en ambos diagramas y enamarillo triángulos congruentes al ABC.
* En azul, paralelogramos de lados a y b con ángulo 90°-γ.
Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que , equivalente al Teorema delcoseno.
Fig. 4b - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es obtuso.
La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el...
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