Teorema de los trabajos Virtuales

EL TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
Y SUS APLICACIONES

En lo que sigue, se pone a disposición un primer borrador de lo que se piensa como una obra más
extensa, que cubra todos los tópicos del programa de Estabilidad IA, tal como se enseña en la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires.

Primer Revisión
Febrero de 2006

1

CAPÍTULO 5
TEOREMAS ENERGÉTICOS

Hastaahora hemos analizado algunos problemas que plantea la Ciencia de la Construcción sobre
la base de los Principios de la Estática. Es posible un estudio paralelo basado en consideraciones
energéticas, el que resulta sumamente interesante, formativo y de indudable interés práctico en
muchos casos. Fuera del alcance de este libro, en problemas relativos a la estabilidad de cuerpos
deformables, aveces es ésta la única aproximación que permite una solución.
No se hará un tratamiento completo de los llamados Teoremas Energéticos, sólo una aproximación al tema, planteando las bases conceptuales para la solución de cierto tipo de problemas, en
el marco de la hipótesis simplificativa de los “cuerpos indeformables” seguida en este libro.
Es importante, aunque no siempre imprescindible, peroconveniente para una mejor formación
del ingeniero estructural, introducir el concepto de trabajo virtual, demostrar el Teorema de los
Trabajos Virtuales (TTV) en el marco de la indeformabilidad de los cuerpos y desarrollar algunas de sus aplicaciones para la solución de diversos problemas. Esto resulta además, un paso introductorio para la generalización y uso en el caso de los cuerposdeformables.
El Teorema de los Trabajos Virtuales tiene particular interés para la Ciencia de la Construcción,
por su virtud unificadora ya que, todos los demás denominados teoremas energéticos pueden
demostrarse a partir del mismo1.
Como se verá más adelante, bajo la hipótesis de los “cuerpos indeformables”, existe total equivalencia entre el TTV y los tres primeros principios de la Estática.
TRABAJODE UNA FUERZA
En forma clásica se define como trabajo de una fuerza en un desplazamiento al producto escalar
dT = F . ds , siendo F la fuerza en cada punto de la trayectoria, y ds el vector desplazamiento
elemental, tangente a la trayectoria en ese punto. En algunos casos F podría representar un campo vectorial (el gravitatorio) y s la trayectoria de una partícula en ese campo.
F
φ

dsds
ds
Figura 1

1

Puppo, Alberto H., Los Teoremas de energía en la Mecánica del Sólido, Anales de la Sociedad Científica Argentina, Nov/Dic 1972. Si bien muchos autores adoptan el Principo de los Trabajos Virtuales como tal, Puppo demuestra
con originalidad el Teorema de los Trabajos Virtuales, basándose en un principio más general, el primer principio de
la termodinámica o de conservaciónde la energía.
2

dT = F . ds . cos φ

Vale entonces:

(1)

TRABAJO DE UN PAR
Consideremos un cuerpo plano (x,y) sobre el que actúan dos fuerzas F paralelas, iguales y de
sentido contrario, una aplicada en el punto A y la otra en el punto B, entre los que media la distancia d. Ambas generan un momento que puede representarse como un vector perpendicular al
plano, de intensidad M:M=dxF=M.k

(k: versor)

Cualquier traslación que se aplique al cuerpo implicará trabajo nulo del par, ya que ambos puntos de aplicación de las fuerzas componentes sufrirán el mismo desplazamiento y siendo ambas
de sentido contrario el trabajo de una será igual y de signo contrario al que desarrolle la otra.
Si se imprime un giro al cuerpo, alrededor de un punto O en el plano x,y, de intensidadθ (su
vector representativo será θ = θ . k), tan pequeño que sea aplicable la cinemática lineal, los puntos A y B experimentarán desplazamientos perpendiculares a los segmentos OA Y OB respectivamente:
aA = θ x OA

y

aB = θ x OB

El trabajo total será la suma del trabajo de ambas fuerzas:
T = F . aA + (-F) . aB = F . θ x (aA – aB) = F . θ x d = θ . d x F = θ . M = θ . M

(2)

En...