Teorema de moivre

Teorema de Moivre.
 Un resultado importante utilizando definición de coordenadas polares es: Teorema de Moivre: Sean dos números complejos: z = r ( cos a +i.sen a ) z’ = r’ ( cos a’ + i.sen a’ ) Será : z.z’ = r.r’ ( cos (a+a’) + i.sen (a+a’) ). z/z’ = r/r’ ( cos (a-a’) + i.sen (a-a’) ). # Demostración: z . z ’ =r  cosai.sen a .r ’ cos a ’ i.sen a ’  = = r. r ’ cos a.cos a ’ −sen a . sen a ’ i sen a . cos a ’ sen a ’ . cos a = = r.r ’  cos aa ’ i.senaa ’ r cos ai.sen a r cos ai.sen a. cos a ’ −i.sen a ’  z = = = z ’ r ’ cos a ’i.sen a ’  r ’  cos a ’ i.sen a ’ .cos a ’−i.sen a’  =
=

r.[ cos a.cos a ' sena.sen a ' î. sen a.cos a ' sen a ' . cos a] = r ’ cos 2 a ’ sen 2 a’ 
r ,[ cos a−a ' î. sen a−a '  ] r'

Habitualmente utilizamos lanotación:

ra . r‘a ‘ = ( r.r‘) a+a‘

ra / r‘a ‘ = ( r/r‘) a - a'

# Ejemplo:  Las condiciones deben de cumplir los complejos r, s, t y u, para que estén en unacircunferencia, tiene que ser que | r | = | s | = | t | = | u | = d. Donde d, será el radio de dicha circunferencia.

 Para encontrar en el plano euclideo, laecuación de una circunferencia de radio 4 y
centro en ( - 2 , 1 ). Basta considerar, la ecuación: | z - (-2+i) | = 4. Que desarrollando resulta: (x+2) 2 + (y-1) 2= 16

 Para expresar en forma polar:
u=22.  3. î v =− 6− 2.î Como: | u | = 4;
Arg u=sen
−1



2.  3 4



Arg u = sen -1 ( 2(3) 1/2 /4 ) = π/3. | v | = 2 ,  2 ; Luego: u = a ( cos π/3 + i sen π/3 ) v = 2(2) 1/2( cos 7π/6 + i sen 7π/6 ). Arg v=sen−1

  

− 2 7.  = 6 8