teorema de moivre

Teorema de De Moivre

El teorema de Moivre, también llamado teorema de Moivre – Laplace, trata de aproximar una distribución binomial a una normal. Se trata de un caso particular del Teoremacentral del límite.
 En el fondo no es más que la forma más elemental del Teorema Central del Límite, el cual viene a precisar la Ley de los Grandes Números.
UN POCO DE HISTORIA:
Este teorema tiene elnombre del matemático francés Abraham Moivre, que lo enunció y demostró en la segunda edición de su obra “The Doctrine of Chance” (1718 primera edición, 1738 segunda edición). En esta edición introdujoel concepto de distribución normal como aproximación de la distribución binomial.


               Teorema de De  Moivre

Fórmula para calcular las potencias zn de un número complejo z. Elteorema de De Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x + i sin x), entonces zn = rn(cos nx + i sin nx), en donde n puede ser enteros positivos, enteros negativos, y exponentes fraccionarios.TEOREMA DE MOIVRE
{
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Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.
 
Potencia.
Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima,bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:
zn = z·z·..(n veces)..·z = (rx)·(rx)·..(n veces)..·(rx) = (r·r·..(n veces)..·r)x+x+..(n veces)..+x = (rn)n·x
Es decir,
(rx)n =(rn)n·x
Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:
z = r·(cos x + i·sen x) ==>zn = rn·(cos x + i·sen x)n = rn·(cos n·x + i·senn·x)
De donde:
cos(n·x) + i·sen(n·x) = (cos x +i·sen x)n
expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre.
Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razonestrigonométricas del ángulo.
Ejemplo:
Conocidos cos x y senx , calculemos cos 4x y sen 4x :
cos 4x + i·sen 4x = (cos x + i·sen x)4 = (40)·cos4x + (41)·cos3x·i·sen x + (42)·cos2x·i2·sen2x + (43)·cos...