Teorema De Moivre

1.3.-Potencias de “i”, modulo o valor absoluto de un numero complejo
El valor absoluto o modulo de un numero complejo a+bi esta definido como a+bi = a2+b2
Ejemplo: -4 + 2i = (-4)2+(2)2 =20 = 25
Fundamentos Axiomáticos del sistema de Números Complejos
Desde un punto de vista estrictamente lógico, es conveniente definir un número complejo como una pareja ordenada (a,b) de números reales a yb sometidas a ciertas definiciones operacionales que resulten ser equivalentes a las anteriores. Estas se dan a continuación, donde las letras representan números reales
A. Igualdad a,b=c,dsi y solamente si a=c, b=d
B. Suma a,b+ c, d=(a+c,b+d)
C. Producto a,b∙c,d=ac-bd,ad+bcma,b=ma,mb
De aquí, podemos demostrar el (problema 14) quea,b=a 1,0+ b0,1 y asociamos esto con a+bi donde i es realmente el símbolo (0,1) con la propiedad de que i2 = (0,1) (0,1) = (-1,0) (el cual se puede considerar equivalente al numero real -1) y (1,0) se puede considerar equivalente al numero real 1. La pareja ordenada (0,0) corresponde al numero real 0. De lo anterior, podemos probar que si z1, z2, z3 pertenecen al conjunto S de números complejosentonces

1. z1+ z2 y z1 z2 pertenece a S ley de clausura
2. z1+ z2 = z2+ z1 ley comutativa de la adicion
3. z1+(z2+ z3 )=(z1+ z2) +z3 ley asociativa de la adicion
4. z1 z2 =z2 z1 ley comutativa de la multiplicacion
5. z1(z2 z3 )=z1(z2 z3 ) ley asociativa de la multiplicacion
6.z1(z2+z3 )=z1z2+z1 z3 ley distri butiva
7. z1+0=0+z1=z1, 1∙z1 = z1 ∙1= z1 , 0 es llamado el elemento neutro o idéntico de la adición , y 1 es llamado el elemento neutro o idéntico de la multiplicación
8. Para cualquier numero complejo z1 ≠0 existe un numero único z en S tal que z+ z1=0;z se llama opuesto o (reciproco) de z1 con respecto a al adicióny es denotado por -z1
9. Para cualquier z1 ≠0 que existe un numero único z en S tal que z1z=zz1=1;z se llama el inverso (o reciproco) de z1 con respecto a la multiplicación y es denotado por z1-1 o 1/z1
En general, cualquier conjunto tal como S, cuyos elementos satisfagan las propiedades anteriores, se dice que es un cuerpo.

Representación grafica de los números complejos
Si se eligenejes reales sobre dos rectas perpendiculares x,ox y y,oy(los ejes x y y respectivamente,) como en la figura 1-2 podemos situar cualquier punto del plano determinado por estas rectas mediante la pareja ordenada de números reales (x, y) o coordenadas cartesianas del punto. P, Q, R, y , T, V en esta forma Como un número complejo x+iy se puede considerar como una pareja ordenada de números reales,podemos representar estos números por puntos en un plano xy, llamado el plano complejo o diagrama de Argand. El numero complejo representado por P, por ejemplo, se puede entonces leer como 3,4o 3+4i. Asi a cada numero complejo corresponde uno solamente un punto en el plano y recíprocamente a cada punto en el plano corresponde uno y solamente un numero complejo z con el punto z. algunas veces nosreferimos a los ejes x y y y como a los ejes real e imaginario respectivamente y a plano complejo como plano z .La distancia entre dos puntos z1=x1+ iy1 y z2=x2+ iy2 en el plano esta dada por z1-z2 (x1-x2)2+(y1-y2)2
yP(3,4) ó (3+4i)


x
Q(-2,1)

R(-3,3)


1.4.-Forma polar y forma exponencial de los números complejos
Si P es un punto en el...