Teorema de Pitágoras

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MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

B

c: hipotenusa
a, b: catetos

c

a

C

c2 = a2 + b2

A

b

Demostración: Se traza la altura sobre la hipotenusa:
B

D
c

a

C

A

b

Los triángulos D ABC ∼ D CBD por ser / ABC = / CBD y /CAB = / DCB entonces,
c
a
=
a BD

donde

c ? BD= a 2

Los triángulos D ABC ∼ D ACD por ser / CAB = / DAC y / ABC = / ACD entonces,
c
b
=
b AD

donde

c ⋅ AD = b 2

Al sumar c ⋅ BD = a 2 y c ⋅ AD = b 2 , se obtiene,
c ⋅ BD + c ⋅ AD = a 2 + b 2
c ( BD + AD ) = a 2 + b 2
Pero BD + AD = c, por tanto:
c2 = a2 + b2

686

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Triángulos

4

Ejemplo
Determina el valor de la hipotenusa del triángulo que se muestra, según losdatos proporcionados en cada uno de los
siguientes incisos:
a) b = 12, a = 9

b) a = 3, b = 6

c) a = 3, b = 7

a

c
b

Soluciones
b) a = 3, b = 6

c) a = 3, b = 7

c2 = a2 + b2

c2 = a2 + b2

c2 = a2 + b2

c2 = (9)2 + (12)2

c2 = (3)2 + (6)2

c2 = (3)2 + (7)2

c2 = 81 + 144

c2 = 9 + 36

c2 = 9 + 49

c2 = 225

c2 = 45

c2 = 58

a) a = 12, b = 9

c=

225 = 15

45 = 3 5

c=

c=

58

Obtención de loscatetos. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual a la diferencia de los
cuadrados de la hipotenusa y del otro cateto.
a2 = c2 – b2; b2 = c2 – a2

Ejemplo
Utiliza la figura para determinar el cateto que se pide en cada inciso:
a) a = 24, c = 25

b) b = 6, c = 8

c) a = 4 3 , c = 8
c

b

a

Soluciones
c) a = 4 3 , c = 8

a) a = 24, c = 25

b) b = 6, c = 8

b2 = c2 – a2

a2 =c2 – b2

b 2 = c 2 – a2

b2 = (25)2 – (24)2

a2 = (8)2 – (6)2

b2 = (8)2 – ( 4 3 )

b2 = 625 – 576

a2 = 64 – 36

b2 = 64 – 48

b2 = 49

a2 = 28

b2 = 16

b=

49 = 7

a=

28 = 2 7

687

b=

16 = 4

2

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MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Naturaleza del triángulo a partir del teorema de Pitágoras
Sea el triángulo ABC, cuyo lado mayor es el lado c, éste será un triángulo: rectángulo, acutángulo uobtusángulo, si al
aplicar el teorema de Pitágoras se cumple que:
1. Si c2 = a2 + b2, el triángulo es rectángulo
2. Si c2 ≠ a2 + b2, entonces

c2 < a2 + b2, el triángulo es acutángulo
c2 > a2 + b2, el triángulo es obtusángulo

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Sea un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades. Comprueba si es un triángulo rectángulo.
Solución
Se toma el valor mayor como la hipotenusa:
(5)2 = (3)2 +(4)2
25 = 9 + 16
25 = 25
Por tanto, el triángulo es rectángulo.

2

Sea el triángulo cuyos lados miden 7, 9 y 12 unidades. Determina qué tipo de triángulo es:
Solución
Se toma el mayor de los lados como c, entonces:
c2 = a2 + b2

S

S

(12)2 = (9)2 + (7)2

144 = 81 + 49
144 ≠ 130

Dado que 144 > 130, el triángulo es obtusángulo.

3

Determina la naturaleza de un triángulo cuyos lados miden 6, 4 y5 unidades.
Solución
Al aplicar el teorema de Pitágoras, se tiene:
(6)2 = (4)2 + (5)2

S

36 = 16 + 25

Puesto que 36 < 41, el triángulo es acutángulo.

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S

36 ≠ 41

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Triángulos

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Teoremas de semejanza en triángulos rectángulos
Ú Teorema 1. La altura trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, forma dos triángulos rectángulos que
son semejantes altriángulo dado, y a su vez semejantes entre ellos.
A

B
Δ ACD ∼ Δ BAD
Δ CAB ∼ Δ CDA
Δ CAB ∼ Δ ADB
D

C
Ú Teorema 2. La altura trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la media proporcional entre la medida de los segmentos de la hipotenusa.

A

B

h

h2 = CD ⋅ DB
D

C
Ú Teorema 3. Cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo es la media proporcional de la hipotenusa y la
medidadel segmento de la hipotenusa interceptado por la altura, y el lado que es adyacente a ese cateto.

A

B

AC 2 = CD CB
2

AB = CB DB
D
C

689

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MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 16
Si a y b son los catetos de un triángulo y c su hipotenusa, determina el lado que falta:

1. a = 15, b = 20

5. a = 12, c = 20

9. a = 6 m y b = 3

2. a = 5, b = 4

6. b = 6, c = 8

10. a = 12 m y c = 13 m...