teorema de pitagoras generalizado

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ISSN: 1887-1984
Volumen 75, noviembre de 2010, páginas 71–87

Deducción y extensión más general del teorema de Pitágoras
Julio C. Barreto García (L. B José Antonio Sosa Guillen, L. B José Antonio Páez, UPEL-IMPM)
Fecha de recepción: 11 de agosto de 2009
Fecha de aceptación: 28 de mayo de 2010

Resumen

En este trabajo expresamos de manera deductivaotras explicaciones en torno al Teorema
de Pitágoras tomando en consideración la idea de área, las cuales tratándolas desde un
punto de vista didáctico pueden ayudarnos en el proceso de enseñanza. Pasaremos de un
caso particular en el cual los lados del triángulo rectángulo tienen cuadrados sobre sus
lados, a un caso un poco general en el cual sean triángulos equiláteros, pentágonos, otrospolígonos, semicírculos, lúnulas, etc.

Palabras clave

Área, Productos Notables, Teorema de Pitágoras, Cuadratura, Media Geométrica.

Abstract

In this paper we express in a deductive way other explanations about the Pythagorean
Theorem, taking into consideration the idea of area, which dealt with from an educational
point of view can help in the teaching process. We come from a particularcase in which
the sides of the triangle are squares on its sides, a little at a general case in which are
equilateral triangles, pentagons, other polygons, semicircles, Lúnula etc.

Keywords

Area, Products Remarkable Theorem of Pythagoras, Quadrature, Geometric Mean.

1. Introducción
Durante mucho tiempo, tomando en consideración la idea de área se ha pensado en la
posibilidad deconstruir figuras geométricas sobre los lados del triángulo rectángulo que cumplan esta
relación y operando con los triángulos equiláteros, polígonos regulares, semicírculos y lúnulas, etc.
nos dimos cuenta que efectivamente se cumple la relación Pitagórica, siempre y cuando se coloquen
sobre los lados del triángulo rectángulo figuras geométricas que cumplan lo siguiente: Sobre las
longitudes de loscatetos colocamos figuras que sean semejantes con la figura colocada sobre la
longitud de la hipotenusa; esto en el caso que sean poligonales, o en un caso aun mas general
hablaremos de figuras homotéticas. Esta nueva forma de ver el Teorema de Pitágoras, mas general a la
de Bhaskara, permitirá a nuestros estudiantes divertirse operando con figuras geométricas junto a sus
compañeros fomentandola unión grupal y les servirá para ir conociendo un poco lo que en matemática
significa el concepto de generalización o extensión, no solo por el hecho de no ser ya cuadrados, sino
por que aprenderán a cuadrar los triángulos y a partir de allí podemos aplicárselos a cualquier polígono
bien sea este regular o no mediante triangulación y aplicaciones repetidas del teorema de Pitágoras,dividiendo los polígonos en varios triángulos.

Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas

Deducción y extensión más general del teorema de Pitágoras
J. C. Barreto García

2. Teorema de Pitágoras: Métodos Geométricos
"La imaginación tiene sobre nosotros mucho más imperio que la realidad."
Jean de la Fontaine
Según lo deducido en (Barreto, 2008) tenemos que se cumple que:Teorema 1: En todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la longitud de
la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre las longitudes de los
catetos.
Podemos también hablar del reciproco de este teorema de manera intuitiva, pues a partir de
estos tres cuadrados podemos formar un único triángulo rectángulo. El cual es el Teorema reciproco:Teorema 1.1 (Reciproco1): Si se cumple que al formar un triángulo con los cuadrados de lados
c (amarillo), y de lados a y b (azul y rojo), el área del cuadrado más grande de lado c (amarillo) es
igual a la suma de las áreas de los otros dos cuadrados menores a y b (azul y rojo), entonces el
triángulo que forman es rectángulo (el ángulo opuesto al lado c es recto).
Este estudio geométrico de la...