Teorema de pitagoras

LECCIÓN

CONDENSADA

9.1
En esta lección
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El Teorema de Pitágoras

Conocerás el Teorema de Pitágoras, que establece la relación entre las longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo Resolverás un rompecabezas de disección que te ayudará a comprender por qué funciona el Teorema de Pitágoras Leerás una prueba de párrafo del Teorema dePitágoras Usarás el Teorema de Pitágoras para resolver problemas
Hipotenusa c b a Catetos

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama la hipotenusa y los otros lados se llaman catetos (legs). Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, y c es la longitud de la hipotenusa, entonces el Teorema de Pitágoras establece que a2 b 2 c 2. Es decir, la sumade los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. La actividad de la investigación ayudará a convencerte de que el Teorema de Pitágoras es cierto.

Investigación: Los tres lados de un triángulo rectángulo
Sigue atentamente los Pasos 1–3 en tu libro. Trata de ser lo más exacto posible cuando construyas los ángulos y los segmentos de recta.Recorta el cuadrado que se sitúa sobre el cateto más corto y las cuatro partes del cuadrado que se sitúan sobre el cateto más largo. Acomoda las cinco partes para que cubran exactamente el cuadrado que se sitúa sobre la hipotenusa. (Sugerencia: El cuadrado pequeño va a la mitad.) Ahora piensa en la forma en que este rompecabezas demuestra el Teorema de Pitágoras:
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Escribe expresionespara las áreas de los cuadrados que se sitúan sobre los catetos. Escribe una expresión para el área del cuadrado que se sitúa sobre la hipotenusa. Pudiste cubrir exactamente el cuadrado de la hipotenusa con los cuadrados de los catetos. Explica en palabras lo que esto dice respecto a las áreas de los tres cuadrados. Ahora escribe una ecuación algebraica que exprese la relación existente entre lasáreas. Resume tu trabajo en la forma del Teorema de Pitágoras.
El Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, la suma de los C-82

cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Si a y b son las longitudes de los catetos, y c es la longitud de la hipotenusa, entonces a2 b 2 c 2.
(continúa)
Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish©2004 Key Curriculum Press CHAPTER 9

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Lección 9.1 • El Teorema de Pitágoras (continuación)
Un teorema es una conjetura que se ha probado. Hay más de 200 pruebas conocidas del Teorema de Pitágoras. Tu libro proporciona una prueba. Lee esa prueba atentamente y asegúrate de que puedes explicar cada paso. En la página 464 de tu libro se dan algunos ejemplos que ilustran que la relaciónpitagórica, a 2 b 2 c 2, no se mantiene en triángulos acutángulos ni obtusángulos. Puedes usar el Teorema de Pitágoras para resolver problemas relacionados con triángulos rectángulos. En tu libro se dan dos ejemplos; síguelos y después lee los ejemplos siguientes.

EJEMPLO A

Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de largo y 70 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal dela cancha? La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, con catetos de longitudes 70 m y 100 m. Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar su longitud. a2 702 4,900 b2 1002 10,000 14,900 122 c2 c2 c2 c2 c
La fórmula de Pitágoras. Sustituye los valores conocidos. Eleva los términos al cuadrado. Suma. Resuelve. 100 m

Solución

c

70 m

La diagonal tiene una longitudaproximada de 122 metros.

EJEMPLO B

¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 5 pies de longitud y una hipotenusa de 13 pies de longitud? Puedes considerar los dos catetos como la base y la altura del triángulo. La longitud de un cateto es 5 pies. Para encontrar la longitud del otro cateto, usa el Teorema de Pitágoras. a2 52 25 b2 b2 b2 b2 b c2 132 169 144 12
La...