Teorema De Pitagoras

El Teorema de Pitágoras

Este teorema era conocido en China, Mesopotamia y Egipto, mucho antes de los tiempos de Pitágoras. Una de las demostraciones más antiguas es la siguiente. Partiendo de un triángulo rectángulo como el de la figura 1 y utilizando cuatro de ellos, construimos la figura 2.
Figura 1 | Figura 2 |

En la figura 2, el área del cuadrado grande es (a+b)2. Pero la figura 2 sedescompone en 4 triángulos y un cuadrado más pequeño. El área que obtenemos sumando las cinco partes es c2+4(ab/2) = c2+2ab. De aquí obtenemos que (a+b)2 = c2+2ab; es decir, a2+2ab+b2 = c2+2ab, y simplificando a2+b2 = c2. (q.e.d.)
Los egipcios lo utilizaron de una forma práctica para la construcción de ángulos rectos, hecho de gran utilidad a la hora de realizar obras arquitectónicas. Tomando unacuerda y haciéndole una serie de nudos de forma que queden determinada en ella 12 partes iguales, se ponía la cuerda formando un triángulo cuyos lados fuesen 3, 4 y 5 partes. El ángulo opuesto al lado mayor es siempre un ángulo de 90º.

Más mérito tiene todavía uno de los pueblos que vivía en Mesopotamia, los babilonios. Su método de escritura se conoce con el nombre de cuneiforme. Consistía enla grabación de una serie de marcas sobre tablillas de arcilla. Una de estas tablillas llamada Plimpton 322 fue descifrada en el siglo XIX, y lo que se encontró en ella fue una lista de ternas pitagóricas. Estas ternas consisten en conjuntos de tres números enteros que se corresponden con los tres lados de un triángulo rectángulo (verifican el teorema de Pitágoras). Algunos ejemplos de esto son:(3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25), (12,16,20)...
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Existe una cantidad muy numerosa de demostraciones del teorema de Pitágoras, pero quizás la más famosa es la que aparece en "Los Elementos" de Euclides. La idea es dividir el cuadrado mayor en dos partes de forma que cada parte sea igual al área de uno de los cuadrados pequeños. Demostraremos primero que el área del rectángulo amarillo(A'A''BM) es igual al área del cuadrado amarillo (ABPQ). Comencemos viendo que los triángulos ABM y CBP son congruentes (iguales). Esto es cierto porque:
a) Los ángulos obtusos de ABM y CBP son iguales.
b) El lado AB de ABM es igual al lado BP de CBP
c) El lado BM de ABM es igual al lado CB de CBP

Es decir, los triángulos tienen dos lados iguales e igual el ángulo comprendido. Ahora bien, eltriángulo ABM tiene un área igual a la mitad de la del rectángulo amarillo (A'A''BM) porque tienen la misma base y altura (para verlo tomar BM como base). Asimismo, el área del triángulo CBP es la mitad de la del cuadrado amarillo (ABPQ) por la misma razón (tomar BP como base). Como los dos triángulos son iguales, el rectángulo y el cuadrado también lo son. De forma análoga se procede con elrectángulo y el cuadrado de la izquierda y el teorema queda demostrado.

Pitágoras
Filósofo y matemático griego nacido en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los filósofos jónicos, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Posiblemente llegó a conocer a Tales, aunque no se sabe con certeza. Viajó por Babilonia y Egipto, y posiblemente también por la India. Durante estos viajes tuvola oportunidad de conocer las matemáticas y la astronomía de estos pueblos, siendo influido también por las creencias de tipo religioso. Cuando regresa a Samos la isla está gobernada por el tirano Policrates. Su espíritu libre no acepta aquello y decide emigrar a Crotona, en la Magna Grecia, hoy sur de Italia (530 a. de C.). Allí funda una escuela o comunidad, considerada como algunos como unasecta, con propósitos religiosos, políticos y filosóficos que alcanzó gran renombre y expansión. Su sistema de educación se basaba en la gimnasia, las matemáticas y la música. Los pitagóricos creían que el mundo conocido podía ser explicado a partir de las matemáticas. A sus seguidores se les llamó mathematikoi, eran vegetarianos y no tenían posesiones personales, aunque también existían otros...