Teorema De Pitagoras

El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de Pitágoras :En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de loscatetos.Pitágoras de Samos |
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que: De la ecuación se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
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Teorema de Euclides referido a un cateto
“En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y suproyección sobre ella.”
Demostración:
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Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):
 
donde
DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)
AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)
c = p + q
 
Por semejanza (~) de triángulos, el   ΔACB ~  ΔCDB (son semejantes)|
Luego;

Que es lo mismo que:

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De forma análoga se tiene que ΔACB  ~  ΔADC (a la derecha) ,
entonces

Que es lo mismo que:

 
Ver: PSU: Geometría; Pregunta 09_2005
Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguiente forma:
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de uncateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.
Por lo tanto,

Ejemplos:
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1) En la figura a la derecha, determinar a,
si c = 7 y q = 4

 
 
 
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2) En la figura a la izquierda, determinar b
si c = 4 y p = 1
 

 
 
Teorema de Euclides relativo a la altura
“En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a lahipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.”
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Se sabe que ΔADC ~ ΔCDB (semejantes, en la figura a la derecha); por lo tanto, sus lados homólogos (correspondientes) son proporcionales.
Sea hc  (CD) la altura de la hipotenusa (AB = c)
Entonces:

Reemplazando:

Llegamos a: 
A partir de esta última fórmula, y tal como en el caso del primerteorema de Euclides, este segundo teorema también se puede expresar de la siguiente manera:
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”.
Por lo tanto,  si   h2 = p • q    
entonces             
Ejemplos:
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1) En la figura a la derecha, determinar h,
si p = 2 y q = 8
 

 
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2) En la figura a la izquierda, determinar h,
si p = 3 y q = 12
 

 
 
La altura correspondiente a la hipotenusa (hc)de un triángulo también se puede obtener a partir de las medidas de los lados del triángulo, haciendo:

Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Talesde Mileto en el siglo VI a. C.
El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).
Primer teorema
Comodefinición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos...