Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras
En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:
 
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los catetos.

Demostración:

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha.
El área de este cuadrado será (b+c)2.

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salentendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2):

más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

Podemos igualar las dos formas decalcular el área del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:


Teoremas de Euclides
 
De Euclides (330 a.C al 227 a.C) se sabe muy poco con certeza, acerca de su vida. Su gran reputación se debe sin duda a su obra titulada Los Elementos Geométricos, conocida simplemente por Los Elementos.Además de estas y otras obras, Euclides escribió Los Datos que trata de la resolución de problemas, dándose elementos de la figura y determinándose otros. Los Porismos es una de sus obras perdidas; se cree que trataba de los Lugares Geométricos y de proposiciones sobre transversales. Muchos piensan que esta ha sido la mejor obra de Euclides.
A continuación se presentan dos Teoremas de Euclides,uno referido a un cateto (en un triángulo rectángulo) y otro referido a la altura.
Teorema de Euclides referido a un cateto
“En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”
Demostración:
Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa,se tiene la siguiente figura (derecha):
Donde:
DB = p (proyección del cateto a (CB sobre la hipotenusa)
AD = q (proyección del cateto b (AC sobre la hipotenusa)
c = p + q
 Por semejanza (~) de triángulos el   ΔACB ~  ΔCDB (son semejantes)
Luego;

Que es lo mismo que:

De forma análoga se tiene que ΔACB  ~  ΔADC.
entonces

Que es lo mismo que:

 Ver: PSU: Geometría.
Vistas lasfórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguiente forma:
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.
Por lo tanto,

Ejemplos:
1) En la figura a la derecha, determinar a,
si c = 7 y q = 4

 
 
 2) En la figura a la izquierda, determinar b
si c = 4 y p = 1
 

 
 

Teorema de Euclides relativo a la altura
“En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.”
Se sabe que ΔADC ~ ΔCDB (semejantes, en la figura a la derecha); por lo tanto, sus lados homólogos correspondientes sonproporcionales.
Sea hc  (CD) la altura de la hipotenusa (AB = c)
Entonces:

Reemplazando:

Llegamos a: 
A partir de esta última fórmula, y tal como en el caso del primer teorema de Euclides, este segundo teorema también se puede expresar de la siguiente manera:
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de...