Teorema de ptolomeo

Teorema de Ptolomeo

Un cuadrilátero cumple con el Teorema de Ptolomeo si y solamente si es cíclico.
El teorema de Ptolomeo es una relación en geometría euclidiana entre los cuatro lados y las dosdiagonales de un cuadrilátero cíclico. El teorema recibe su nombre del astrónomo y matemático griego Claudio Ptolomeo.
Si un cuadrilátero está dado por sus cuatro vértices A, B, C, D, el teoremaafirma que:

Donde la línea sobre las Letras indica la longitud de los segmentos entre los vértices correspondientes.
Esta relación puede ser expresada de manera verbal de la siguiente forma:Teorema de PtolomeoEn todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales. |

Demostraciones
Demostracióngeométrica

Demostración del teorema de Ptolomeo
1. Sea ABCD un cuadrilátero cíclico.
2. Note que en el segmento BC, ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, y en AB, ∠ADB = ∠ACB.
3. Ahora, porángulos comunes △ABK es semejante a △DBC, y △ABD ∼ △KBC
4. Por lo tanto AK/AB = CD/BD, y CK/BC = DA/BD,
1. Por lo tanto AK·BD = AB·CD, y CK·BD = BC·DA;
2. Lo que implica AK·BD + CK·BD= AB·CD +BC·DA
3. Es decir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
4. Pero AK+CK = AC, por lo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.
Note que la demostración es válida sólo paracuadriláteros concíclicos simples. Si el cuadrilátero es complejo entonces K se encontrará fuera del segmento AC, y por lo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.
Existe una generalización de esteteorema llamado el teorema de Casey, que involucra a cuatro circunferencias no secantes y tangentes interiores a una quinta.
El teorema de Ptolomeo se puede demostrar con métodos de inversión geométricacon respecto a cualquier vértice de un cuadrilátero.
Ejemplo

La razón dorada se obtiene de la aplicación del teorema de Ptolomeo.
Considere un pentágono regular y la circunferencia circunscrita...