Teorema De Reynolds.

1.- Teorema de Reynolds.

Apliquemos el teorema del transporte de Reynolds para estudiar la variación de la densidad ρ en un volumen de control infinitesimal, dV = dx dydz; es decir, consideremos η = 1 y R = 0. Utilizando la notación definida, denotamos con e y w las caras cuyo vector normal es ˆne/w = ±ˆı, respectivamente, con n y s las caras cuya normal es ˆnn/s = ± ˆ, y t, b las caras connormal ˆnt/b = ±ˆk

Definición de volumen de control dV y notación utilizada.
en este caso el teorema del transporte de Reynolds se escribe como:

sin embargo, dado que el volumen de control considerado es infinitesimal, el lado izquierdo de se reduce a:

por otro lado, el segundo término de se puede descomponer en 6 integrales que dan cuenta del flujo masaco a través de cada una de lascaras del volumen de control, de manera que:

es fácil ver que:

dondeue y uw son las componentes según x de la velocidad, evaluadas en las caras e y w, respectivamente. El signo negativo en uw viene dado por el signo de ˆnw = −ˆi. Por otro lado, si repetimos el mismo análisis para las otras 4 caras de dV, sabiendo que los elementos dSx = dydz, dSy = dx dz, y dSz = dx dy, y considerando que~v y ρ son uniformes en las respectivas caras, dadas sus dimensiones infinitesimales, obtenemos que la integral del lado derecho de es:

si ahora llamamos uw = u, ρw = ρ, y hacemos una expansión en serie de Taylor en torno a w, truncando al primer orden, se tiene:

y, si repetimos este procedimiento en las otras dos direcciones y remplazamos en, entonces obtenemos la ecuación de conservaciónde la masa según el enfoque diferencial:

considerando la definición de derivada material dada anteriormente. La ecuación es conocida también como la ecuación de continuidad de masa.
Resumen
El teorema de Reynolds, por lo leído en la literatura encontrada quiere decir que cualquier medio continuo, en este caso un líquido o un fluido, puede deformarse al mismo tiempo que se traslada, otrasladarse y luego deformarse de distintas formas, dependiendo de las fuerzas que actúen sobre el fluido. Estas deformaciones pueden ser de traslación pura, que todo el fluido de mueva de un lugar a otro sin sufrir ninguna deformación, siga enestado puro, dilatación o contracción, es decir, el fluido aumente o disminuya su tamaño pero no su volumen, deformación angular, es aquella que se logra cuandosufre algún alargamiento o cambio de inclinación, el tamaño es el mismo igual que su volumen y rotación o circulación, cuando el fluido gira entorno a un eje determinado.

2.- Teorema de la conservación de la masa.

Obtenemos las denominadas ecuaciones de Navier Stokes para fluidos incompresibles

suponiendo además μ es homogéneo, y notando que

entonces

en donde el ultimo término demano derecha es cero dado continuidad


por lo tanto

o bien

o bien

a continuación, sea h un eje orientado verticalmente hacia arriba. En este caso

por lo tanto

dondep+ρgh es denominada la presión motriz que notaremos como ˆp. Este nombre se debe a que es la acción conjunta de la gravedad y el gradiente de presiones la puede generar el movimiento, y no los términos viscososque tienen a frenar el movimiento. El que sea la acción conjunta entre gravedad y gradientes de presiones se ve en el concepto de presión hidrostática que vimos anteriormente, en donde la presión era tal de balancear la gravedad, y por lo tanto la resultante de ambos términos no induce el movimiento vertical del fluido a pesar que tanto los gradientes de presión como la gravedad pueden, cada unopor separado, generar el movimiento del fluido.
Resumen
Como se muestra en este teorema y como se ve en el teorema de Reynolds, aunque un medio continuo sufra cualquiera de las deformaciones mencionadas anteriormente, su volumen sigue siendo el mismo, esto quiere decir, que se conserva la misma cantidad de masa en el medio continuo, de ahí la frase coloquial “la masa no se crea ni se destruye,...