Teorema De Rolle, Lagrange, L´Hospital

Calculo Diferencial

ITSU


1ª Mecatronica

Introducción
Se dará a conocer los teoremas de Rolle, LaGrange y Teorema de L´Hospital para tratar de conocer lo mayor posible de estos teoremas de derivación.
Las siguientes funciones tienen una gran aplicabilidad en distintos campos de las ciencias y disciplinas, tales como la química, física, administración e ingeniería. Por esta razón esposible que el estudiante en su desarrollo profesional se enfrente a alguna situación en la que deba aplicar sus conocimientos del cálculo diferencial, e incluso deba manipular el interior de los intervalos y analizar los puntos extremos; esto lo determina el Teorema de Rolle. En este proyecto se pretende que el estudiante tenga un mayor acercamiento entre las matemáticas y las ciencias de lacomputación. Se le plantea entonces a los estudiantes que utilicen un programa que grafique funciones sencillas y se permita visualizar los puntos extremos y que lo presente a sus compañeros.

Teorema de Rolle
El teorema de Rolle dice lo siguiente:
Si:
*  es una función continua definida en un intervalo cerrado 
*  es derivable sobre el intervalo abierto 
*

Entonces: existe al menosun número  perteneciente al intervalo  tal que.

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f 'se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c  (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela aleje de abscisas.
Ejemplos
1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?

La función es continua en [0, 2].
No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.

Teorema de LaGrange
En la teoría de grupos, el teorema de LaGrange es un resultado importante que relaciona el orden de un grupo finito G con el ordende cualquiera de sus subgrupos. Más precisamente, afirma que si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces
(1)
Donde | G | y | H | son el orden del grupo G y el orden del subgrupo H, en tanto que [G: H] es el índice de H en G.

El recíproco del teorema de LaGrange es falso, pues existen grupos de orden m que pueden no tener un subgrupo de orden n a pesar de que. Por ejemplo,el grupo simétrico S4 tiene orden 24 y no tiene ningún subgrupo de orden 6. En general, los grupos no resolubles son ejemplos en los que el recíproco del teorema de LaGrange no aplica.
Por otra parte, el recíproco del teorema de LaGrange es siempre cierto para el caso de grupos abelianos, y por tanto lo es también para grupos cíclicos.
En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de LaGrange),también llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-LaGrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmentepara demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.
En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une...