Teorema de rolle

Teorema de rolle, teorema de lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.
El teorema de Rolle dice:
Si:
* es una función continua definida en un intervalo cerrado* es derivable sobre el intervalo abierto
*

Entonces: existe al menos un número perteneciente al intervalo tal que .

Esquema:

En otras palabras, si una curva regularsale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar parareencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nulaen el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.
Ejercicio:

Teorema de Valor Medio, de Lagrange o de Incrementos Finitos.
Si:
* f es una funcióncontinua definida en un intervalo [a, b]
* f es derivable sobre el intervalo (a, b)
Entonces: existe al menos un número c en el intervalo (a, b) tal que:

Es decir que existe unpunto en donde la tangente es paralela a la cuerda AB.
Su prueba es sencilla, pues utiliza el teorema precedente.
Sea p la pendiente de la cuerda: p = (f(b) - f(a)) / (b - a), y sedefine la función g(x) = f(x) - p·x. Entonces g(b) - g(a) = f(b) - p·b - (f(a) - p·a) = f(b) - f(a) - p(b - a) = f(b) - f(a) -(f(b) - f(a)) = 0, y g como f, es continua sobre [a, b] yderivable en su interior.
Según el teorema anterior, existe un c en (a, b) tal que g '(c) = 0; pero esto se escribe f ' (c) = p.

Este teorema se escribe también, con las mismashipótesis: f(b) = f(a) + f '(c)(b-a) lo que deja entrever el teorema de Taylor-Young:
f(b) = f(a) + (b-a)f '(a) + ... + (b-a)n/n! · f(n)(c), con f n veces derivable sobre (a, b).

Ejercicio: