Teorema de rolle

Teorema de Rolle
Definición:
El teorema de Rolle dice que:
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.

Lainterpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.
Ejemplos:
1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en elintervalo [0, 2]?

La función es continua en [0, 2].
No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.

2. Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface lascondiciones del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.
f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en losintervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.

Además se cumple que:
f(−1) = f(0) = f(1) = 0
Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

Teorema del valor medio
Definición:
Elteorema del valor medio o de Lagrange dice que:
Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

La interpretación geométrica del teorema del valor medionos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.
El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).
Ejemplos:
1. ¿Se puedeaplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?
f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

2. En el segmento de la parábolacomprendido entre los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la cuerda.
Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) pertenecen a la parábola de ecuación y = x2 + bx + c.

Porser la función polinómica se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3].

Diferencia finita
Definición:
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) −...