teorema de rolle

4.3 Teorema de Rolle y del Valor medio

Competencia.
Determinar por los puntos dentro de un intervalo dado de una función, para los que
f’(x)=0, y los puntos para los cuales pasa una rectatangente paralela a la recta formada por la
unión de los puntos extremos de la función, por medio de la aplicación de la derivada.

Introducción:
En esta sección se analizaran dos teoremas fundamentalesdel cálculo, el teorema de
Rolle y el Teorema de Valor Medio. El Teorema de Rolle es utilizado para encontrar por lo
menos un punto en los que se encuentra u máximo o mínimo, es decir, que tengamosuna
pendiente igual a cero f’(x)=0.

El Teorema de valor medio tiene implicaciones en todas las interpretaciones de la
derivada, es usado directamente en la resolución de problemas y parademostrar otros
teoremas del cálculo. En la resolución de problemas es útil para determinar dentro de un
intervalo aquellos puntos en los cuales su valor es igual al del promedio de ese intervalo.
Imagineque va en una carretera en donde la velocidad varía constantemente, lo que
obtendríamos al final del trayecto seria una velocidad promedio, pero por medio del teorema
del valor medio podríamosdeterminar que por lo menos en un punto (pueden ser más de uno)
de ese trayecto obtuvimos la velocidad instantánea igual a la velocidad promedio durante el
trayecto.

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Unidad 4. APLICACION DE LADERIVADA

Def. 4.3.1: Teorema de Rolle
Sea f una función que satisface las tres hipótesis siguientes:
a) f es continua en el intervalo cerrado [a, b ] .
b) f es diferenciable en el intervaloabierto (a, b ) .
c) f (a ) = f (b ) .
Entonces hay un número c, en (a, b ) , tal que f ′(c ) = 0

()

f x =k

, una constante, entonces

f ′( x ) = 0 ,

que c puede ser cualquier número en(a , b ) .

( ) ( ) para algunas x en (a , b ) y
f ( x ) < f (a ) para valores en (a , b ) .

f x > f a

así

( ) ( ) para algunas x en (a , b ) .
Tiene un máximo en f (c ) , de acuerdo...